giai giup toi bai hoc nay

Câu 15: Do \( F(x) = ae^x + bx \) là một nguyên hàm của \( f(x) = 5e^x + 7 \), ta có: \[ F'(x) = f(x). \] Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(ae^x + bx) = ae^x + b. \] Theo giả thiết, \( F'(x) = f(x) \), do đó: \[ ae^x + b = 5e^x + 7. \] So sánh hệ số của \( e^x \) và hằng số ở hai vế, ta có: \[ a = 5 \] và \[ b = 7. \] Bây giờ, tính \( 2a + b \): \[ 2a + b = 2 \cdot 5 + 7 = 10 + 7 = 17. \] Vậy giá trị của \( 2a + b \) là: \[ 2a + b = 17. \] Câu 16: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = (e^x + 3)^2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Khai triển \( f(x) \): \[ f(x) = (e^x + 3)^2 = e^{2x} + 6e^x + 9 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong \( f(x) \): - Nguyên hàm của \( e^{2x} \) là: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} \] - Nguyên hàm của \( 6e^x \) là: \[ \int 6e^x \, dx = 6e^x \] - Nguyên hàm của \( 9 \) là: \[ \int 9 \, dx = 9x \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm trên để tìm \( F(x) \): \[ F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 6e^x + 9x + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 4: So sánh \( F(x) \) với \( F(x) = ae^{2x} + be^x + cx \) để xác định các hằng số \( a \), \( b \), và \( c \): \[ ae^{2x} + be^x + cx = \frac{1}{2}e^{2x} + 6e^x + 9x \] Từ đó, ta có: \[ a = \frac{1}{2}, \quad b = 6, \quad c = 9 \] Bước 5: Tính \( 2a + b + c \): \[ 2a + b + c = 2 \left( \frac{1}{2} \right) + 6 + 9 = 1 + 6 + 9 = 16 \] Vậy, \( 2a + b + c = 16 \). Câu 17: Để tìm nguyên hàm \( F(x) = ae^{2x} + be^x + cx \) của hàm số \( f(x) = (3e^x - 2)^2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = (3e^x - 2)^2 = 9e^{2x} - 12e^x + 4 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần tử trong \( f(x) \): - Nguyên hàm của \( 9e^{2x} \): \[ \int 9e^{2x} \, dx = 9 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = \frac{9}{2} e^{2x} \] - Nguyên hàm của \( -12e^x \): \[ \int -12e^x \, dx = -12e^x \] - Nguyên hàm của \( 4 \): \[ \int 4 \, dx = 4x \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm trên để tìm \( F(x) \): \[ F(x) = \frac{9}{2} e^{2x} - 12e^x + 4x + C \] So sánh với \( F(x) = ae^{2x} + be^x + cx \), ta có: \[ a = \frac{9}{2}, \quad b = -12, \quad c = 4 \] Bước 4: Tính \( 2a + b + c \): \[ 2a + b + c = 2 \left( \frac{9}{2} \right) + (-12) + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 \] Vậy, \( 2a + b + c = 1 \). Câu 18: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{2e^x + 3}{e^x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đơn giản hóa hàm số \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{2e^x + 3}{e^x} = \frac{2e^x}{e^x} + \frac{3}{e^x} = 2 + 3e^{-x}. \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2 + 3e^{-x}) \, dx. \] Bước 3: Tách thành hai tích phân: \[ F(x) = \int 2 \, dx + \int 3e^{-x} \, dx. \] Bước 4: Tính từng tích phân: \[ \int 2 \, dx = 2x + C_1, \] \[ \int 3e^{-x} \, dx = -3e^{-x} + C_2. \] Bước 5: Kết hợp các kết quả: \[ F(x) = 2x - 3e^{-x} + C. \] Bước 6: So sánh với dạng đã cho \( F(x) = ax + \frac{b}{e^x} \): \[ 2x - 3e^{-x} + C = ax + \frac{b}{e^x}. \] Từ đó, ta có: \[ a = 2, \] \[ b = -3. \] Bước 7: Tính \( a + b \): \[ a + b = 2 + (-3) = -1. \] Vậy, giá trị của \( a + b \) là \(-1\). Câu 19: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^{x+1} + 2^{x+1} \), ta sẽ tính nguyên hàm của từng phần riêng lẻ. Nguyên hàm của \( 7^{x+1} \): \[ \int 7^{x+1} \, dx = \int 7^x \cdot 7 \, dx = 7 \int 7^x \, dx \] Ta biết rằng nguyên hàm của \( 7^x \) là \( \frac{7^x}{\ln 7} \). Do đó: \[ 7 \int 7^x \, dx = 7 \cdot \frac{7^x}{\ln 7} = \frac{7^{x+1}}{\ln 7} \] Nguyên hàm của \( 2^{x+1} \): \[ \int 2^{x+1} \, dx = \int 2^x \cdot 2 \, dx = 2 \int 2^x \, dx \] Ta biết rằng nguyên hàm của \( 2^x \) là \( \frac{2^x}{\ln 2} \). Do đó: \[ 2 \int 2^x \, dx = 2 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} = \frac{2^{x+1}}{\ln 2} \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = 7^{x+1} + 2^{x+1} \) là: \[ F(x) = \frac{7^{x+1}}{\ln 7} + \frac{2^{x+1}}{\ln 2} \] So sánh với biểu thức đã cho \( F(x) = a \cdot \frac{7^x}{\ln 7} + b \cdot \frac{2^x}{\ln 2} \), ta thấy: \[ a = 7 \quad \text{và} \quad b = 2 \] Vậy tổng \( a + b \) là: \[ a + b = 7 + 2 = 9 \] Đáp án cuối cùng: \[ a + b = 9 \] Câu 20: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x \cdot 7^x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đơn giản hóa hàm số \( f(x) \): \[ f(x) = 3^x \cdot 7^x = (3 \cdot 7)^x = 21^x \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( 21^x \): Nguyên hàm của \( 21^x \) là: \[ \int 21^x \, dx = \frac{21^x}{\ln 21} + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 3: So sánh với biểu thức đã cho \( F(x) = \frac{a^x}{\ln b} \): Ta có: \[ \frac{21^x}{\ln 21} = \frac{a^x}{\ln b} \] Bước 4: Đồng nhất các hệ số tương ứng: \[ a^x = 21^x \quad \text{và} \quad \ln b = \ln 21 \] Từ đó suy ra: \[ a = 21 \quad \text{và} \quad b = 21 \] Bước 5: Tính tổng \( a + b \): \[ a + b = 21 + 21 = 42 \] Vậy, đáp án cuối cùng là: \[ a + b = 42 \]