giai bqi tap giup minh

Câu 21: Ta có: \[ F'(x) = f(x) \Leftrightarrow \left( \frac{a^x}{b\ln2} + \frac{m^x}{n\ln7} + C \right)' = 2^{3x} + 7^{2x} \] \[ \Leftrightarrow \frac{a^x \ln a}{b\ln2} + \frac{m^x \ln m}{n\ln7} = 2^{3x} \ln 2^3 + 7^{2x} \ln 7^2 \] \[ \Leftrightarrow \frac{a^x \ln a}{b\ln2} + \frac{m^x \ln m}{n\ln7} = 2^{3x} \ln 8 + 7^{2x} \ln 49 \] So sánh hai vế ta có: \[ a = 8, b = 1, m = 49, n = 1 \] Do đó: \[ a + b + m + n = 8 + 1 + 49 + 1 = 59 \] Câu 22: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = e^x + \frac{1}{\ln 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{\ln 2} \): \[ \int \frac{1}{\ln 2} \, dx = \frac{x}{\ln 2} + C_2 \] 3. Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ F(x) = e^x + \frac{x}{\ln 2} + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 4. Sử dụng điều kiện ban đầu \( F(\ln 2) = 15 \) để tìm giá trị của \( C \): \[ F(\ln 2) = e^{\ln 2} + \frac{\ln 2}{\ln 2} + C = 15 \] \[ 2 + 1 + C = 15 \] \[ 3 + C = 15 \] \[ C = 12 \] 5. Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = e^x + \frac{x}{\ln 2} + 12 \] 6. Tính \( F(0) \): \[ F(0) = e^0 + \frac{0}{\ln 2} + 12 = 1 + 0 + 12 = 13 \] Vậy, giá trị của \( F(0) \) là: \[ F(0) = 13 \] Câu 23: Để tính \( F(0) \), chúng ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 10e^x - 2x \). Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (10e^x - 2x) \, dx \] Ta tách thành hai phần: \[ F(x) = \int 10e^x \, dx - \int 2x \, dx \] Bước 2: Tính từng phần: \[ \int 10e^x \, dx = 10e^x + C_1 \] \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_2 \] Kết hợp lại, ta có: \[ F(x) = 10e^x - x^2 + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 3: Sử dụng điều kiện ban đầu \( F(\ln 5) = 2026 \) để tìm \( C \): \[ F(\ln 5) = 10e^{\ln 5} - (\ln 5)^2 + C = 2026 \] Vì \( e^{\ln 5} = 5 \), nên: \[ 10 \cdot 5 - (\ln 5)^2 + C = 2026 \] \[ 50 - (\ln 5)^2 + C = 2026 \] \[ C = 2026 - 50 + (\ln 5)^2 \] \[ C = 1976 + (\ln 5)^2 \] Bước 4: Thay \( C \) vào \( F(x) \): \[ F(x) = 10e^x - x^2 + 1976 + (\ln 5)^2 \] Bước 5: Tính \( F(0) \): \[ F(0) = 10e^0 - 0^2 + 1976 + (\ln 5)^2 \] \[ F(0) = 10 \cdot 1 + 1976 + (\ln 5)^2 \] \[ F(0) = 10 + 1976 + (\ln 5)^2 \] \[ F(0) = 1986 + (\ln 5)^2 \] Vậy, giá trị của \( F(0) \) là: \[ F(0) = 1986 + (\ln 5)^2 \] Câu 24: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2x + \cos x + e^x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \). - Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^2 + \sin x + e^x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu \( F(0) = 2026 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 0^2 + \sin 0 + e^0 + C = 0 + 0 + 1 + C = 1 + C \] Theo điều kiện \( F(0) = 2026 \): \[ 1 + C = 2026 \] \[ C = 2025 \] Vậy, nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^2 + \sin x + e^x + 2025 \] Bước 3: Tính \( F(1) \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = 1^2 + \sin 1 + e^1 + 2025 \] \[ F(1) = 1 + \sin 1 + e + 2025 \] Do đó, giá trị của \( F(1) \) là: \[ F(1) = 2026 + \sin 1 + e \] Câu 25: Để tính \( F(1) \), chúng ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = (\sin x - \cos x)^2 + \sin 2x + \frac{3}{x} + 7^x \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của từng phần của \( f(x) \). 1. Nguyên hàm của \( (\sin x - \cos x)^2 \): \[ (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x \] Nguyên hàm của \( 1 - \sin 2x \) là: \[ \int (1 - \sin 2x) \, dx = x + \frac{\cos 2x}{2} + C_1 \] 2. Nguyên hàm của \( \sin 2x \): \[ \int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2} + C_2 \] 3. Nguyên hàm của \( \frac{3}{x} \): \[ \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x| + C_3 \] 4. Nguyên hàm của \( 7^x \): \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C_4 \] Bước 2: Kết hợp tất cả các nguyên hàm trên: \[ F(x) = x + \frac{\cos 2x}{2} - \frac{\cos 2x}{2} + 3 \ln |x| + \frac{7^x}{\ln 7} + C \] \[ F(x) = x + 3 \ln |x| + \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Bước 3: Sử dụng điều kiện \( F(e^3) = 5 \) để tìm hằng số \( C \): \[ F(e^3) = e^3 + 3 \ln |e^3| + \frac{7^{e^3}}{\ln 7} + C = 5 \] \[ e^3 + 3 \cdot 3 + \frac{7^{e^3}}{\ln 7} + C = 5 \] \[ e^3 + 9 + \frac{7^{e^3}}{\ln 7} + C = 5 \] \[ C = 5 - e^3 - 9 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] \[ C = -4 - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] Bước 4: Thay \( C \) vào \( F(x) \) và tính \( F(1) \): \[ F(x) = x + 3 \ln |x| + \frac{7^x}{\ln 7} - 4 - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] \[ F(1) = 1 + 3 \ln 1 + \frac{7^1}{\ln 7} - 4 - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] \[ F(1) = 1 + 0 + \frac{7}{\ln 7} - 4 - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] \[ F(1) = 1 - 4 + \frac{7}{\ln 7} - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] \[ F(1) = -3 + \frac{7}{\ln 7} - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \] Vậy, \( F(1) = -3 + \frac{7}{\ln 7} - e^3 - \frac{7^{e^3}}{\ln 7} \).