Giúp mih với

Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \) (C) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (4x^3 - 3x - 1)' = 12x^2 - 3. \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 12x^2 - 3 = 0 \] \[ \Rightarrow 12x^2 = 3 \] \[ \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \] \[ \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}. \] Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - Với \( x = \frac{1}{2} \): \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 = -2. \] - Với \( x = -\frac{1}{2} \): \[ y\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 = 0. \] Bước 4: Xét dấu đạo hàm và tính đơn điệu - Với \( x < -\frac{1}{2} \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Với \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Với \( x > \frac{1}{2} \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. Bước 5: Vẽ đồ thị Dựa vào các điểm cực trị và tính đơn điệu, ta có thể vẽ đồ thị hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \). 2. Biện luận số nghiệm thực của phương trình \( x^3 - \frac{3}{4}x + m = 0 \) Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng: \[ x^3 - \frac{3}{4}x + m = 0 \] tương đương với: \[ y = 4x^3 - 3x - 1 = 4\left(x^3 - \frac{3}{4}x\right) - 1. \] Để biện luận số nghiệm thực của phương trình này, ta cần xét giao điểm của đồ thị hàm số \( y = 4x^3 - 3x - 1 \) với đường thẳng \( y = -4m \). - Nếu \( -4m > 0 \) (tức là \( m < 0 \)), đường thẳng nằm trên trục hoành, có thể cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. - Nếu \( -4m = 0 \) (tức là \( m = 0 \)), đường thẳng trùng với trục hoành, có thể cắt đồ thị tại 1 điểm. - Nếu \( -4m < 0 \) (tức là \( m > 0 \)), đường thẳng nằm dưới trục hoành, có thể cắt đồ thị tại 1 điểm. Tóm lại, số nghiệm thực của phương trình phụ thuộc vào giá trị của \( m \): - \( m < 0 \): 3 nghiệm thực phân biệt. - \( m = 0 \): 1 nghiệm thực. - \( m > 0 \): 1 nghiệm thực.