chỉ hộ bài viết này

Câu 35: Ta có: \( I = \int_{1}^{2} (ax^2 + \frac{b}{x}) \, dx \) Chúng ta sẽ tính tích phân này bằng cách tách thành hai phần: \[ I = \int_{1}^{2} ax^2 \, dx + \int_{1}^{2} \frac{b}{x} \, dx \] 1. Tính tích phân \(\int_{1}^{2} ax^2 \, dx\): \[ \int_{1}^{2} ax^2 \, dx = a \int_{1}^{2} x^2 \, dx \] \[ = a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] \[ = a \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) \] \[ = a \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) \] \[ = a \cdot \frac{7}{3} \] \[ = \frac{7a}{3} \] 2. Tính tích phân \(\int_{1}^{2} \frac{b}{x} \, dx\): \[ \int_{1}^{2} \frac{b}{x} \, dx = b \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx \] \[ = b \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} \] \[ = b (\ln 2 - \ln 1) \] \[ = b \ln 2 \] Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ I = \frac{7a}{3} + b \ln 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~I = \frac{7a}{3} + b \ln 2 \] Câu 36: Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{1} \left( ax^3 + \frac{b}{x+2} \right) dx \), chúng ta sẽ chia tích phân này thành hai phần riêng biệt và tính từng phần một. 1. Tính phần thứ nhất \( \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx \): - Hàm \( ax^3 \) là một hàm lẻ, tức là \( f(-x) = -f(x) \). - Khi tích phân một hàm lẻ trên khoảng đối xứng qua gốc tọa độ, tích phân đó bằng 0. - Do đó, \( \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx = 0 \). 2. Tính phần thứ hai \( \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx \): - Ta thực hiện phép đổi biến \( u = x + 2 \). Khi đó \( du = dx \). - Khi \( x = -1 \), \( u = 1 \); khi \( x = 1 \), \( u = 3 \). - Do đó, tích phân trở thành: \[ \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{b}{u} \, du = b \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \, du = b \left[ \ln|u| \right]_{1}^{3} = b (\ln 3 - \ln 1) = b \ln 3. \] Kết hợp cả hai phần, ta có: \[ I = 0 + b \ln 3 = b \ln 3. \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I = b \ln 3. \] Câu 37: Để tính tích phân \( I = \int_{e}^{e^2} \frac{x+1}{x^2} \, dx \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân: \[ \frac{x+1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \] 2. Viết lại tích phân: \[ I = \int_{e}^{e^2} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx \] 3. Tách tích phân thành hai phần: \[ I = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x^2} \, dx \] 4. Tính từng tích phân riêng lẻ: - Tích phân thứ nhất: \[ \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Bigg|_{e}^{e^2} = \ln(e^2) - \ln(e) = 2 - 1 = 1 \] - Tích phân thứ hai: \[ \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{e}^{e^2} x^{-2} \, dx = \left( -\frac{1}{x} \right) \Bigg|_{e}^{e^2} = -\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} \] 5. Kết hợp kết quả của hai tích phân: \[ I = 1 + \left( \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} \right) = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} \] Vậy giá trị của tích phân \( I \) là: \[ \boxed{1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}} \] Đáp án đúng là: \( D.~I=1+\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2} \). Câu 38: Ta có: \( I = \int_{0}^{2} \sqrt{4x + 1} \, dx \) Đặt \( u = 4x + 1 \). Suy ra \( du = 4 \, dx \) hay \( dx = \frac{du}{4} \). Khi \( x = 0 \), ta có \( u = 1 \). Khi \( x = 2 \), ta có \( u = 9 \). Do đó, tích phân trở thành: \[ I = \int_{1}^{9} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} \, du \] Tiếp theo, ta tính tích phân này: \[ \frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} \, du \] Sử dụng công thức tích phân cơ bản: \[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \] Áp dụng vào tích phân trên: \[ \frac{1}{4} \left[ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} \] Thay giới hạn tích phân: \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \left( 9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{6} \left( 27 - 1 \right) = \frac{1}{6} \cdot 26 = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \frac{13}{3}} \] Câu 39: Ta có: \[ I_1 = \int_0^1 (x + \sqrt{x + 1}) \, dx \] Chúng ta sẽ tách tích phân này thành hai phần: \[ I_1 = \int_0^1 x \, dx + \int_0^1 \sqrt{x + 1} \, dx \] Tính phần thứ nhất: \[ \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] Tính phần thứ hai bằng cách đổi biến: Đặt \( u = x + 1 \). Khi đó \( du = dx \). Khi \( x = 0 \), \( u = 1 \). Khi \( x = 1 \), \( u = 2 \). Do đó: \[ \int_0^1 \sqrt{x + 1} \, dx = \int_1^2 \sqrt{u} \, du = \int_1^2 u^{1/2} \, du \] Tích phân này là: \[ \int_1^2 u^{1/2} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^2 = \frac{2}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right) = \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \] Gộp lại, ta có: \[ I_1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) \] Rút gọn: \[ I_1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{2}{3} \] \[ I_1 = \frac{1}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ I_1 = \frac{3}{6} + \frac{8\sqrt{2}}{6} - \frac{4}{6} \] \[ I_1 = \frac{3 + 8\sqrt{2} - 4}{6} \] \[ I_1 = \frac{-1 + 8\sqrt{2}}{6} \] So sánh với \( I_1 = \frac{a}{6} + b\sqrt{2} \): \[ \frac{-1 + 8\sqrt{2}}{6} = \frac{a}{6} + b\sqrt{2} \] Suy ra: \[ a = -1 \] \[ b = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] Cuối cùng, tính \( a - \frac{3}{4}b \): \[ a - \frac{3}{4}b = -1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \] \[ a - \frac{3}{4}b = -1 - 1 \] \[ a - \frac{3}{4}b = -2 \] Vậy đáp án đúng là: B. -2 Câu 40: Ta có: \( I = \int_{0}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \, dx \) Đặt \( u = x + 2 \). Khi đó \( du = dx \). Khi \( x = 0 \), ta có \( u = 2 \). Khi \( x = 2 \), ta có \( u = 4 \). Do đó, tích phân trở thành: \[ I = \int_{2}^{4} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du \] Ta có: \[ \int \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u} + C \] Do đó: \[ I = \left[ \sqrt{u} \right]_{2}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I=2-\sqrt{2} \] Câu 41: Ta có: $\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \int_0^1 \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})} dx$ $= \int_0^1 (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx$ $= \left( \dfrac{2}{3}(x+2)^{\dfrac{3}{2}} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{\dfrac{3}{2}} \right) \Bigg|_0^1$ $= \dfrac{2}{3}\left[ (3)^{\dfrac{3}{2}} - (2)^{\dfrac{3}{2}} - (2)^{\dfrac{3}{2}} + (1)^{\dfrac{3}{2}} \right]$ $= \dfrac{2}{3}\left( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1 \right)$ $= 2\sqrt{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt{2} + \dfrac{2}{3}$ Suy ra \(a = 2, b = 3\) Vậy \(a + 2b = 8\) Đáp án đúng là B. Câu 42: Ta có: $\int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}dx}=\int_{0}^{1}{\frac{x(\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1})}{(\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1})(\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1})}dx}$ $=\int_{0}^{1}{\frac{x(\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1})}{(3x+1)-(2x+1)}dx}=\int_{0}^{1}{[x(\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1})]dx}$ $=\int_{0}^{1}{x\sqrt{3x+1}dx-\int_{0}^{1}{x\sqrt{2x+1}dx}=I-J}$ Tính I: Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow t^2=3x+1\Rightarrow x=\frac{t^2-1}{3}\Rightarrow dx=\frac{2t}{3}dt$ Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1;x=1\Rightarrow t=2$ Suy ra $I=\int_{1}^{2}{\frac{(t^2-1)t}{3}.\frac{2t}{3}dt}=\frac{2}{9}\int_{1}^{2}{(t^4-t^2)dt}=\frac{2}{9}(\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3})|_{1}^{2}=\frac{2}{9}(\frac{32}{5}-\frac{8}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3})=\frac{2}{9}(\frac{31}{5}-\frac{7}{3})=\frac{2}{9}.\frac{68}{15}=\frac{136}{135}$ Tương tự tính J ta được $J=\frac{16}{27}$ Vậy $I-J=\frac{136}{135}-\frac{16}{27}=\frac{136-80}{135}=\frac{56}{135}=\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}(1-\frac{1}{15})=\frac{56}{9}-\frac{56}{135}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}-\frac{56}{9.15}=\frac{56}{9}=\frac{56}{9}$. Câu 43: Để tính tích phân \(\int_0^\pi \sin(3x) \, dx\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \(\sin(3x)\): - Ta biết rằng nguyên hàm của \(\sin(ax)\) là \(-\frac{1}{a} \cos(ax) + C\). - Áp dụng vào trường hợp này, \(a = 3\), nên nguyên hàm của \(\sin(3x)\) là \(-\frac{1}{3} \cos(3x) + C\). 2. Tính tích phân xác định từ \(0\) đến \(\pi\): \[ \int_0^\pi \sin(3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3} \cos(3x) \right]_0^\pi \] 3. Thay giới hạn trên và dưới vào: \[ \left[ -\frac{1}{3} \cos(3x) \right]_0^\pi = -\frac{1}{3} \cos(3\pi) - \left( -\frac{1}{3} \cos(0) \right) \] 4. Tính giá trị tại các điểm giới hạn: - \(\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1\) - \(\cos(0) = 1\) 5. Kết hợp các giá trị đã tính: \[ -\frac{1}{3} \cos(3\pi) - \left( -\frac{1}{3} \cos(0) \right) = -\frac{1}{3} (-1) - \left( -\frac{1}{3} (1) \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Vậy, giá trị của tích phân \(\int_0^\pi \sin(3x) \, dx\) là \(\frac{2}{3}\). Đáp án đúng là: \(D.~\frac{2}{3}\). Câu 44: Để tính tích phân \( I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt \( u = \frac{\pi}{4} - x \). Khi đó, \( du = -dx \). 2. Thay đổi giới hạn tích phân: - Khi \( x = 0 \), thì \( u = \frac{\pi}{4} \). - Khi \( x = \frac{\pi}{2} \), thì \( u = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} \). 3. Biến đổi tích phân: \[ I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} \sin(u) (-du) = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin(u) \, du \] 4. Tích phân của \( \sin(u) \) là \( -\cos(u) \): \[ I = \left[ -\cos(u) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \] 5. Thay giới hạn vào: \[ I = \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ I = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \] 6. Vì \( \cos(-u) = \cos(u) \), nên: \[ I = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~I=0. \] Câu 45: Để tính tích phân \( I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhận dạng tích phân: Tích phân này có dạng \(\int \frac{dx}{\sin^2 x}\). Ta biết rằng \(\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\). 2. Sử dụng công thức tích phân: Chúng ta biết rằng \(\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\). 3. Áp dụng giới hạn tích phân: \[ I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \csc^2 x \, dx = \left[ -\cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \] 4. Tính giá trị tại các giới hạn: \[ I = \left( -\cot \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\cot \frac{\pi}{4} \right) \] \[ I = -\cot \frac{\pi}{3} + \cot \frac{\pi}{4} \] 5. Kết luận: \[ I = \cot \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{3} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~-\cot\frac\pi3+\cot\frac\pi4. \] Câu 46: Ta có: $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}.$ Do đó, ta có: $a + b\sqrt{3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}.$ So sánh hai vế, ta thấy: $a = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{và} \quad b = -\frac{1}{2}.$ Vậy: $T = 2a + 6b = 2(1) + 6\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 - 3 = -1.$ Đáp án đúng là: $B.~T=-1$. Câu 47: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị của \( S \): \[ S = -\cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4} \] Ta biết rằng: \[ \cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] và \[ \cot\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{4}} = 1 \] Do đó: \[ S = -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \] 2. Giải phương trình tích phân: \[ \int_0^m \cos 2x \, dx = 0 \] Ta tính tích phân: \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Do đó: \[ \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^m = 0 \] \[ \frac{1}{2} \sin 2m - \frac{1}{2} \sin 0 = 0 \] \[ \frac{1}{2} \sin 2m = 0 \] \[ \sin 2m = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 2m = n\pi \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ m = \frac{n\pi}{2} \] 3. Tìm các số nguyên \( m \) trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \): \[ 0 \leq \frac{n\pi}{2} \leq 2\pi \] \[ 0 \leq n \leq 4 \] Các giá trị của \( n \) là: \( 0, 1, 2, 3, 4 \). 4. Đếm số lượng các giá trị nguyên \( m \): Có 5 giá trị nguyên \( m \) trong khoảng từ 0 đến \( 2\pi \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. 642} \]