chỉ hộ bài viết này

Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tích phân của biểu thức \( ax^2 + \frac{b}{x} \). 2. Đặt giới hạn từ 1 đến 2 để tính giá trị của tích phân. Bước 1: Tính tích phân của \( ax^2 + \frac{b}{x} \). \[ \int \left( ax^2 + \frac{b}{x} \right) dx \] Ta tách thành hai phần: \[ \int ax^2 \, dx + \int \frac{b}{x} \, dx \] - Tích phân của \( ax^2 \): \[ \int ax^2 \, dx = a \int x^2 \, dx = a \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{a}{3} x^3 \] - Tích phân của \( \frac{b}{x} \): \[ \int \frac{b}{x} \, dx = b \int \frac{1}{x} \, dx = b \ln |x| \] Do đó, tích phân tổng cộng là: \[ \int \left( ax^2 + \frac{b}{x} \right) dx = \frac{a}{3} x^3 + b \ln |x| + C \] Bước 2: Đặt giới hạn từ 1 đến 2: \[ I = \left[ \frac{a}{3} x^3 + b \ln |x| \right]_1^2 \] Thay giá trị trên vào: \[ I = \left( \frac{a}{3} \cdot 2^3 + b \ln 2 \right) - \left( \frac{a}{3} \cdot 1^3 + b \ln 1 \right) \] \[ I = \left( \frac{a}{3} \cdot 8 + b \ln 2 \right) - \left( \frac{a}{3} \cdot 1 + b \cdot 0 \right) \] \[ I = \left( \frac{8a}{3} + b \ln 2 \right) - \left( \frac{a}{3} \right) \] \[ I = \frac{8a}{3} - \frac{a}{3} + b \ln 2 \] \[ I = \frac{7a}{3} + b \ln 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~I=\frac{7}{3}a + b \ln 2 \] Câu 36: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các yêu cầu sau: 1. Tính tích phân của \( ax^3 \) từ -1 đến 1. 2. Tính tích phân của \( \frac{b}{x+2} \) từ -1 đến 1. 3. Kết hợp hai kết quả trên để tìm giá trị của tích phân \( I \). Bước 1: Tính tích phân của \( ax^3 \) từ -1 đến 1: \[ \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx \] Do \( ax^3 \) là một hàm lẻ (vì \( (-x)^3 = -x^3 \)), tích phân của nó từ -1 đến 1 sẽ bằng 0: \[ \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx = 0 \] Bước 2: Tính tích phân của \( \frac{b}{x+2} \) từ -1 đến 1: \[ \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx \] Đặt \( u = x + 2 \). Khi đó \( du = dx \). Khi \( x = -1 \), \( u = 1 \). Khi \( x = 1 \), \( u = 3 \). Do đó, tích phân trở thành: \[ \int_{1}^{3} \frac{b}{u} \, du \] Tích phân của \( \frac{1}{u} \) là \( \ln|u| \): \[ \int_{1}^{3} \frac{b}{u} \, du = b \left[ \ln|u| \right]_{1}^{3} = b (\ln 3 - \ln 1) = b \ln 3 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên: \[ I = \int_{-1}^{1} \left( ax^3 + \frac{b}{x+2} \right) \, dx = 0 + b \ln 3 = b \ln 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I = b \ln 3 \] Câu 37: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đại số cơ bản để tính tích phân. Ta có: \[ I = \int_{e}^{e^2} \frac{x + 1}{x^2} \, dx \] Trước tiên, ta tách phân số trong tích phân thành hai phần riêng biệt: \[ \frac{x + 1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \] Do đó, tích phân ban đầu trở thành: \[ I = \int_{e}^{e^2} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx \] Tiếp theo, ta chia tích phân thành hai phần riêng biệt: \[ I = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x^2} \, dx \] Bây giờ, ta tính từng phần tích phân riêng biệt. Phần thứ nhất: \[ \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Big|_{e}^{e^2} = \ln(e^2) - \ln(e) = 2 - 1 = 1 \] Phần thứ hai: \[ \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{e}^{e^2} x^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{e}^{e^2} = -\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e} \] Cuối cùng, ta cộng kết quả của hai phần tích phân lại: \[ I = 1 + \left( -\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I = 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} \] Câu 38: Ta có: \[ \int_{0}^{1} \frac{x}{(x^2 + 1)^2} dx = \left[ -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{2(1^2 + 1)} \right) - \left( -\frac{1}{2(0^2 + 1)} \right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{4}}. \] Câu 39: Ta có: $ Bfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2009}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{2009}$ $\Leftrightarrow xy = 2009(x+y)$ $\Leftrightarrow xy-2009x-2009y=0$ $\Leftrightarrow xy-2009x-2009y+2009^2=2009^2$ $\Leftrightarrow (x-2009)(y-2009)=2009^2$ Vì $x < y$ nên $x-2009 < y-2009$ Do đó ta có: $\begin{cases} x-2009=-2009 \\ y-2009=2009^2 \end{cases} \text{ hoặc } \begin{cases} x-2009=-49 \\ y-2009=847 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=2009^2+2009 \end{cases} \text{ hoặc } \begin{cases} x=1960 \\ y=2058 \end{cases}$ Vậy $(x,y)=(1960,2058)$ là cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 40: Ta có: $\begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0 \\ {x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y \\ {x^2} + xy + {y^2} = 3 \end{array} \right. \end{array}$ Thay $x=y$ vào phương trình thứ hai ta được: $\begin{array}{l} {x^2} + 2x + 1 = 3 \\ \Rightarrow {x^2} + 2x - 2 = 0 \\ \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{3} \end{array}$ Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $(x,y)$ là $(-1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3})$ và $(-1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3})$. Câu 41: Ta có: $\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \int_0^1 \dfrac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})} dx$ $= \int_0^1 (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx$ $= \left( \dfrac{2}{3}(x+2)^{\dfrac{3}{2}} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{\dfrac{3}{2}} \right) \Bigg|_0^1$ $= \dfrac{2}{3}\left[ (3)^{\dfrac{3}{2}} - (2)^{\dfrac{3}{2}} - (2)^{\dfrac{3}{2}} + (1)^{\dfrac{3}{2}} \right]$ $= \dfrac{2}{3}\left( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1 \right)$ $= 2\sqrt{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt{2} + \dfrac{2}{3}$ Suy ra \(a = 2, b = 3\) Vậy \(a + 2b = 8\) Đáp án đúng là B. Câu 42: Ta có: $\begin{cases} \sin \alpha + \sin \beta &= \dfrac{1}{2} \\ \cos \alpha + \cos \beta &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} &= \dfrac{1}{2} \\ 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \tan \dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ $\Leftrightarrow \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{3}$ Câu 43: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( \sin(3x) \). 2. Tính giá trị của tích phân từ \( 0 \) đến \( \pi \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( \sin(3x) \) Nguyên hàm của \( \sin(ax) \) là \( -\frac{1}{a} \cos(ax) + C \). Áp dụng công thức này cho \( \sin(3x) \): \[ \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C \] Bước 2: Tính giá trị của tích phân từ \( 0 \) đến \( \pi \) \[ \int_{0}^{\pi} \sin(3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3} \cos(3x) \right]_{0}^{\pi} \] Thay giá trị giới hạn vào: \[ \left[ -\frac{1}{3} \cos(3x) \right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{3} \cos(3\pi) - \left( -\frac{1}{3} \cos(0) \right) \] \[ = -\frac{1}{3} \cos(3\pi) + \frac{1}{3} \cos(0) \] Biết rằng \( \cos(3\pi) = -1 \) và \( \cos(0) = 1 \): \[ = -\frac{1}{3} (-1) + \frac{1}{3} (1) \] \[ = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{2}{3} \] Do đó, giá trị của tích phân là: \[ \boxed{\frac{2}{3}} \] Đáp án đúng là: \( D. \frac{2}{3} \) Câu 44: Ta có: $\beginx{align} &\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\text{d}x=\frac{\pi }{2}-\int_{0}^{1}\sqrt{1-(1-\cos t)^2}\text{d}t \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad Câu 45: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp đã nêu trong Key Rules và thực hiện từng bước một cách chi tiết. Bước 1: Xác định tích phân Ta cần tính tích phân: \[ I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x} \] Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng \(\frac{1}{\sin^2 x}\). Ta biết rằng: \[ \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \] Do đó, tích phân trở thành: \[ I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \csc^2 x \, dx \] Bước 3: Tìm nguyên hàm Nguyên hàm của \(\csc^2 x\) là \(-\cot x\): \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \] Bước 4: Tính tích phân xác định Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ I = \left[ -\cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \] \[ I = -\cot \left( \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\cot \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) \] \[ I = -\cot \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) \] Bước 5: Kết luận Do đó, giá trị của tích phân \(I\) là: \[ I = -\cot \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy đáp án đúng là: \[ C.~-\cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4} \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{C.~-\cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}} \] Câu 46: Ta có: \[ \sin \alpha \cos A + \sin \alpha \sin B - \sin \alpha \cos B - \sin \beta \sin A = 0 \] \[ \Leftrightarrow \sin \alpha (\cos A - \cos B) + \sin (\cos B - \cos A) = 0 \] \[ \Leftrightarrow (\sin \alpha - \sin \beta)(\cos A - \cos B) = 0 \] Do đó, ta có hai trường hợp: 1. \(\sin \alpha = \sin \beta\) 2. \(\cos A = \cos B\) Trường hợp 1: \(\sin \alpha = \sin \beta\) - Điều này xảy ra khi \(\alpha = \beta\) hoặc \(\alpha = \pi - \beta\). Trường hợp 2: \(\cos A = \cos B\) - Điều này xảy ra khi \(A = B\) hoặc \(A = -B\). Vậy, để phương trình đã cho đúng với mọi \(\alpha\) và \(\beta\), ta cần có: \[ \sin \alpha = \sin \beta \quad \text{và} \quad \cos A = \cos B \] Điều này dẫn đến: \[ \alpha = \beta \quad \text{và} \quad A = B \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\alpha = \beta;~A=B} \] Câu 47: Đầu tiên, ta cần tìm giá trị của \( x \) để biểu thức \( \sqrt{x+1} + \sqrt{2-x} \) đạt giá trị lớn nhất. Ta có: \[ S = -\cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4} \] Biết rằng: \[ \cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \cot\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{4}} = 1 \] Do đó: \[ S = -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \] Tiếp theo, ta cần tìm các số nguyên \( m \) thỏa mãn: \[ \int_0^m \cos(2x) \, dx = 0 \] Tính tích phân: \[ \int_0^m \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^m = \frac{\sin(2m)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = \frac{\sin(2m)}{2} \] Để tích phân bằng 0: \[ \frac{\sin(2m)}{2} = 0 \] \[ \sin(2m) = 0 \] Giá trị của \( \sin(2m) = 0 \) khi: \[ 2m = k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ m = \frac{k\pi}{2} \] Vì \( m \) là số nguyên, nên \( k \) phải là số chẵn. Đặt \( k = 2n \): \[ m = \frac{2n\pi}{2} = n\pi \] Vậy \( m \) là bội số của \( \pi \). Ta cần kiểm tra các đáp án: A. 643 B. 1284 C. 1285 D. 642 Kiểm tra các giá trị này: - 643 không phải bội số của \( \pi \) - 1284 không phải bội số của \( \pi \) - 1285 không phải bội số của \( \pi \) - 642 không phải bội số của \( \pi \) Như vậy, không có đáp án nào trong các đáp án trên thỏa mãn điều kiện \( \int_0^m \cos(2x) \, dx = 0 \). Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.