13.Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB= 6 cm, AC = 8 cm gọi I,M,K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. a) Chứng minh tứ giác AIMK là hình chữ nhật và tính diện tích của nó b) Tính độ dài đoạn AM c)...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác AIMK là hình chữ nhật và tính diện tích của nó Chứng minh AIMK là hình chữ nhật: 1. Tính độ dài các cạnh: - Vì I, M, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC nên: - \( AI = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm - \( AK = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm - \( IM = \frac{BC}{2} \) 2. Tính BC: - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] - Do đó, \( IM = \frac{10}{2} = 5 \) cm 3. Chứng minh các góc vuông: - Xét tam giác AIM: - \( AI \perp IM \) vì \( \angle AIB = 90^\circ \) (do I là trung điểm của AB và tam giác ABC vuông tại A) - Xét tam giác AKM: - \( AK \perp KM \) vì \( \angle AKC = 90^\circ \) (do K là trung điểm của AC và tam giác ABC vuông tại A) 4. Kết luận: - AIMK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AI // MK và AK // IM), và có các góc vuông, nên AIMK là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật AIMK: - Diện tích hình chữ nhật AIMK là: \[ S = AI \times AK = 3 \times 4 = 12 \text{ cm}^2 \] b) Tính độ dài đoạn AM - AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC, do đó: \[ AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 6^2 + 2 \times 8^2 - 10^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] c) Chứng minh BH vuông góc JS 1. Xác định vị trí các điểm: - P, J, H, S lần lượt là trung điểm của AI, IM, MK, AK. 2. Tính độ dài các đoạn: - \( AP = \frac{AI}{2} = \frac{3}{2} \) cm - \( PJ = \frac{IM}{2} = \frac{5}{2} \) cm - \( KH = \frac{MK}{2} = \frac{5}{2} \) cm - \( AS = \frac{AK}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) cm 3. Chứng minh BH vuông góc JS: - Xét tam giác BHC và tam giác JSC: - BH là đường trung tuyến của tam giác BHC. - JS là đường trung tuyến của tam giác JSC. - Do các đường trung tuyến trong tam giác vuông góc với nhau tại điểm trọng tâm, BH vuông góc với JS. Vậy, BH vuông góc với JS.