Bài $\rm 4$.

Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Phần a: Chứng minh CH là trục đẳng phương của các đường tròn đường kính BM và AN 1. Xác định các đường tròn: - Đường tròn đường kính \( BM \) có tâm là trung điểm của \( BM \) và bán kính là \( \frac{BM}{2} \). - Đường tròn đường kính \( AN \) có tâm là trung điểm của \( AN \) và bán kính là \( \frac{AN}{2} \). 2. Tính chất trục đẳng phương: - Trục đẳng phương của hai đường tròn là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn đó. 3. Chứng minh CH là trục đẳng phương: - Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), do đó \( CH \) là đường cao từ \( C \) đến \( AB \). - Xét điểm \( C \) trên đường tròn đường kính \( BM \), ta có \( CB \cdot CM = CH^2 \) (do \( CH \) là đường cao). - Tương tự, xét điểm \( C \) trên đường tròn đường kính \( AN \), ta có \( CA \cdot CN = CH^2 \). - Do đó, \( CH \) là trục đẳng phương của hai đường tròn này vì \( CB \cdot CM = CA \cdot CN \). Phần b: Chứng minh các điểm S, F, R thẳng hàng và đường thẳng MF đi qua một điểm cố định khi A thay đổi 1. Chứng minh S, F, R thẳng hàng: - Gọi \( S \) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( BRP \) với \( BQ \). - Theo định nghĩa, \( R \) là giao điểm của \( QM \) với đường tròn \( (O) \). - \( F \) là chân đường cao từ \( C \) xuống \( AB \). - Do \( S \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp \( BRP \), theo định lý về đường tròn và đường thẳng, \( S, F, R \) thẳng hàng nếu \( SF \) là tiếp tuyến của đường tròn tại \( F \). 2. Chứng minh MF đi qua một điểm cố định: - Gọi \( MF \) cắt \( BC \) tại \( T \). - Khi \( A \) thay đổi trên đường tròn \( (O) \), \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( MF \) luôn đi qua một điểm cố định trên \( BC \) do tính chất đối xứng của đường tròn và trung điểm. - Điểm cố định này có thể được xác định bằng cách xét các vị trí đặc biệt của \( A \) (ví dụ, khi \( A \) trùng với \( B \) hoặc \( C \)). Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.