Bài $\rm 5$.

Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hiệu số điểm \( h \) giữa đội đứng đầu bảng và đội đứng cuối bảng trong trường hợp không có hai đội nào bằng điểm nhau. Trường hợp a: Số đội tham dự là \( n = 3 \). Với 3 đội, mỗi đội sẽ thi đấu với 2 đội còn lại. Tổng số trận đấu là: \[ \frac{3 \times (3-1)}{2} = 3 \] Giả sử các đội là \( A, B, C \). Để không có hai đội nào bằng điểm nhau, chúng ta cần sắp xếp kết quả sao cho điểm số của các đội là khác nhau. Một cách để đạt được điều này là: - Đội \( A \) thắng cả hai trận (được 6 điểm). - Đội \( B \) thắng đội \( C \) (được 3 điểm). - Đội \( C \) thua cả hai trận (được 0 điểm). Khi đó, điểm số của các đội là: - \( A: 6 \) điểm - \( B: 3 \) điểm - \( C: 0 \) điểm Hiệu số điểm \( h = 6 - 0 = 6 \). Trường hợp b: Số đội tham dự là \( n = 42 \). Với 42 đội, mỗi đội sẽ thi đấu với 41 đội còn lại. Tổng số trận đấu là: \[ \frac{42 \times 41}{2} = 861 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( h \), chúng ta cần sắp xếp kết quả sao cho điểm số của các đội là khác nhau và hiệu số giữa đội đứng đầu và đội đứng cuối là nhỏ nhất. Một cách để đạt được điều này là: - Đội đứng đầu thắng 41 trận (được \( 41 \times 3 = 123 \) điểm). - Đội đứng thứ hai thắng 40 trận và thua 1 trận (được \( 40 \times 3 = 120 \) điểm). - ... - Đội đứng thứ 41 thắng 1 trận và thua 40 trận (được \( 1 \times 3 = 3 \) điểm). - Đội đứng cuối thua cả 41 trận (được 0 điểm). Khi đó, điểm số của các đội là từ 123 đến 0, và hiệu số điểm \( h = 123 - 0 = 123 \). Vậy, giá trị nhỏ nhất có thể của \( h \) là: - a. \( h = 6 \) khi \( n = 3 \). - b. \( h = 123 \) khi \( n = 42 \).