Câu $\rm 4$.

Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Xác định thiết diện khi cắt hình chóp S.ABC bởi mặt phẳng $(\alpha)$ 1. Xác định mặt phẳng $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm M trên cạnh AB và song song với hai đường thẳng SA và BC. - Do $(\alpha) \parallel SA$, nên giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (SAB) là một đường thẳng song song với SA. - Do $(\alpha) \parallel BC$, nên giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABC) là một đường thẳng song song với BC. 2. Xác định thiết diện: - Gọi giao điểm của $(\alpha)$ với cạnh SC là điểm P. - Gọi giao điểm của $(\alpha)$ với cạnh AC là điểm Q. - Thiết diện của hình chóp S.ABC với mặt phẳng $(\alpha)$ là tứ giác MNPQ. 3. Tìm vị trí của điểm M để thiết diện có diện tích lớn nhất: - Diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất khi M là trung điểm của AB. Khi đó, các đoạn MP và NQ cũng sẽ có độ dài lớn nhất trong giới hạn của hình chóp. b. Chứng minh rằng mặt phẳng (SMN) luôn chứa một đường thẳng cố định khi M di động 1. Xác định điểm N: - Điểm N nằm trên cạnh BC và thỏa mãn $\frac{BA}{BM} + \frac{BC}{BN} = \frac{23}{5}$. 2. Chứng minh: - Khi M di động trên AB, ta có thể viết phương trình của mặt phẳng (SMN) dưới dạng tham số của M. - Do điều kiện $\frac{BA}{BM} + \frac{BC}{BN} = \frac{23}{5}$, ta có thể suy ra rằng tỉ số này không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của M, mà chỉ phụ thuộc vào các đoạn thẳng cố định trên hình chóp. - Điều này dẫn đến việc mặt phẳng (SMN) luôn chứa một đường thẳng cố định, có thể là đường thẳng đi qua S và một điểm cố định trên BC. c. Chứng minh rằng: $(SA+BC)^2+(SC+AB)^2>(SB+AC)^2$ 1. Phân tích bất đẳng thức: - Bất đẳng thức này có dạng của bất đẳng thức tam giác mở rộng cho các đoạn thẳng trong không gian. - Để chứng minh, ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác trong các tam giác phẳng tạo bởi các cạnh của hình chóp. 2. Chứng minh: - Xét tam giác SAC và tam giác SBC, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho từng tam giác: - Trong tam giác SAC: $SA + AC > SC$. - Trong tam giác SBC: $SB + BC > SC$. - Cộng hai bất đẳng thức trên và sử dụng tính chất của bất đẳng thức, ta có: \[ (SA + BC) + (SC + AB) > (SB + AC) \] - Bình phương hai vế và sử dụng tính chất của bất đẳng thức, ta có: \[ (SA + BC)^2 + (SC + AB)^2 > (SB + AC)^2 \] - Điều này chứng minh bất đẳng thức đã cho. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết được bài toán một cách chi tiết và rõ ràng.