Giúppppp vớiiii

Câu 21: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} \] Đặt \( u = x - 1 \) và \( v = \sqrt{x^2 + 1} \). Khi đó: \[ y = \frac{u}{v} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Ta tính \( u' \) và \( v' \): \[ u' = 1 \] \[ v = (x^2 + 1)^{1/2} \implies v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (x - 1) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{(x^2 + 1) - x(x - 1)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x^2 + 1 - x^2 + x}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x + 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} \] 2. Tìm điểm cực trị: Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x + 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = 0 \] \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] 3. Kiểm tra giá trị tại điểm cực trị và giới hạn: Ta kiểm tra giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{-1 - 1}{\sqrt{(-1)^2 + 1}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] Kiểm tra giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 1 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = -1 \] 4. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -1 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -\sqrt{2} \). Câu 22: Để tìm thời điểm nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( c(t) = \frac{t}{t^2 + 1} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( c(t) \): \[ c'(t) = \frac{(t^2 + 1) \cdot 1 - t \cdot 2t}{(t^2 + 1)^2} = \frac{t^2 + 1 - 2t^2}{(t^2 + 1)^2} = \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2}. \] Bước 2: Giải phương trình \( c'(t) = 0 \): \[ \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 1 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 1 \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = -1. \] Bước 3: Xác định khoảng thời gian \( t \geq 0 \) (vì thời gian không thể âm), nên chỉ xét \( t = 1 \). Bước 4: Kiểm tra dấu của \( c'(t) \) để xác định cực đại: - Khi \( t < 1 \), \( c'(t) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( t > 1 \), \( c'(t) < 0 \) (hàm số giảm). Do đó, tại \( t = 1 \), hàm số \( c(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Bước 5: Tính giá trị của \( c(t) \) tại \( t = 1 \): \[ c(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ mg/L}. \] Vậy, sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, đạt giá trị 0.5 mg/L. Câu 23: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều cao của hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho diện tích bề mặt của hộp là nhỏ nhất, với điều kiện thể tích của hộp là 180 ml. Gọi \( x \) là độ dài cạnh của đáy hình vuông (đơn vị: cm), và \( h \) là chiều cao của hình hộp (đơn vị: cm). Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \[ V = x^2 \cdot h = 180 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{180}{x^2} \] Bước 2: Thiết lập hàm diện tích bề mặt Diện tích bề mặt \( S \) của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích của tất cả các mặt: \[ S = 2x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{180}{x^2} \) vào biểu thức diện tích bề mặt, ta được: \[ S = 2x^2 + 4x \cdot \frac{180}{x^2} = 2x^2 + \frac{720}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm diện tích bề mặt Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Tính đạo hàm: \[ S' = \frac{d}{dx}\left(2x^2 + \frac{720}{x}\right) = 4x - \frac{720}{x^2} \] Giải phương trình \( S' = 0 \): \[ 4x - \frac{720}{x^2} = 0 \] \[ 4x^3 = 720 \] \[ x^3 = 180 \] \[ x = \sqrt[3]{180} \] Bước 4: Tính chiều cao \( h \) và kiểm tra điều kiện Thay \( x = \sqrt[3]{180} \) vào phương trình \( h = \frac{180}{x^2} \): \[ h = \frac{180}{(\sqrt[3]{180})^2} = \frac{180}{\sqrt[3]{180^2}} \] Bước 5: Kết luận Chiều cao của hình hộp chữ nhật để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất là: \[ h = \frac{180}{\sqrt[3]{180^2}} \] Vậy, chiều cao của hình hộp chữ nhật đạt giá trị tối ưu khi \( x = \sqrt[3]{180} \) và \( h = \frac{180}{\sqrt[3]{180^2}} \).