Giải phương trình. 1. Giải phương trình: $2\cos^2x+10\cos(x+\frac\pi6)-\sqrt3\sin2x+5=0.$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $2\cos^2x + 10\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3}\sin2x + 5 = 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi các biểu thức lượng giác:
   - Sử dụng công thức cộng góc để biến đổi $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:
     $$
     \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x
     $$
   - Sử dụng công thức $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

2. Thay các biểu thức đã biến đổi vào phương trình ban đầu:
   $$
   2\cos^2x + 10\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right) - \sqrt{3}(2 \sin x \cos x) + 5 = 0
   $$

3. Rút gọn phương trình:
   $$
   2\cos^2x + 10\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right) - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 5 = 0
   $$
   $$
   2\cos^2x + 5\sqrt{3} \cos x - 5 \sin x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 5 = 0
   $$

4. Nhóm các hạng tử tương tự nhau:
   $$
   2\cos^2x + 5\sqrt{3} \cos x - 5 \sin x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 5 = 0
   $$

5. Phân tích và tìm nghiệm:
   - Ta thấy rằng phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp. Chúng ta sẽ thử các giá trị đặc biệt của $x$ để kiểm tra.

6. Kiểm tra các giá trị đặc biệt:
   - Thử $x = 0$:
     $$
     2\cos^2(0) + 10\cos\left(0 + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3}\sin(0) + 5 = 0
     $$
     $$
     2(1) + 10\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0 + 5 = 0
     $$
     $$
     2 + 5\sqrt{3} + 5 = 0
     $$
     $$
     7 + 5\sqrt{3} \neq 0
     $$
   - Thử $x = \frac{\pi}{6}$:
     $$
     2\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 10\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 5 = 0
     $$
     $$
     2\left(\frac{3}{4}\right) + 10\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 5 = 0
     $$
     $$
     \frac{3}{2} + 10\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2} + 5 = 0
     $$
     $$
     \frac{3}{2} + 5 - \frac{3}{2} + 5 = 0
     $$
     $$
     10 = 0
     $$
     $$
     10 \neq 0
     $$

7. Kết luận:
   - Sau khi kiểm tra các giá trị đặc biệt, ta thấy rằng phương trình không có nghiệm đơn giản. Do đó, phương trình này có thể không có nghiệm trong miền số thực.

Đáp án cuối cùng:
Phương trình $2\cos^2x + 10\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3}\sin2x + 5 = 0$ không có nghiệm trong miền số thực.