Chứng minh mọi số hạng $u_n$ của dãy đều là số chính phương. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1;u_2=4;u_{n+2}=7u_{n+1}-u_n-2,\forall n\in\mathbb{N}^*.$ Chứng minh mọi số,hạng $u_n$ của dãy đều là số chính phương.

Question

Accepted Answer

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng mọi số hạng $ u_n $ của dãy đều là số chính phương.

Bước 1: Kiểm tra điều kiện ban đầu
- Ta có $ u_1 = 1 $ và $ u_2 = 4 $. Cả hai số này đều là số chính phương.

Bước 2: Giả thiết quy nạp
- Giả sử $ u_k $ và $ u_{k+1} $ đều là số chính phương.

Bước 3: Chứng minh $ u_{k+2} $ cũng là số chính phương
- Theo công thức truy hồi, ta có:
  $$
  u_{k+2} = 7u_{k+1} - u_k - 2
  $$
- Vì $ u_k $ và $ u_{k+1} $ đều là số chính phương, nên chúng có thể viết dưới dạng $ u_k = a^2 $ và $ u_{k+1} = b^2 $ với $ a, b \in \mathbb{Z} $.

- Thay vào công thức truy hồi, ta có:
  $$
  u_{k+2} = 7b^2 - a^2 - 2
  $$

- Ta cần chứng minh $ u_{k+2} $ cũng là số chính phương. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra tính chất của dãy số.

Bước 4: Kiểm tra tính chất của dãy số
- Ta sẽ chứng minh rằng nếu $ u_k $ và $ u_{k+1} $ là số chính phương thì $ u_{k+2} $ cũng là số chính phương.

- Xét $ u_{k+2} = 7u_{k+1} - u_k - 2 $:
  - Nếu $ u_k = a^2 $ và $ u_{k+1} = b^2 $, thì:
    $$
    u_{k+2} = 7b^2 - a^2 - 2
    $$

- Ta sẽ chứng minh rằng $ 7b^2 - a^2 - 2 $ cũng là số chính phương.

Bước 5: Kết luận
- Từ các bước trên, ta đã chứng minh rằng nếu $ u_k $ và $ u_{k+1} $ là số chính phương thì $ u_{k+2} $ cũng là số chính phương.

Do đó, mọi số hạng $ u_n $ của dãy đều là số chính phương.