Tìm tất cả các hàm số f: R-> R thoả mãn điều kiện: f(yf(x))+f(xf(y)) =2xy, với mọi x,y thuộc R Giúp em với ạ.

Bước 1: Xét trường hợp y = 0 Thay y = 0 vào phương trình đã cho, ta có: f(0) + f(xf(0)) = 0 Do phương trình này đúng với mọi x nên f(0) = 0 Bước 2: Xét trường hợp x = 0 Thay x = 0 vào phương trình đã cho, ta có: f(yf(0)) + f(0) = 0 Do phương trình này đúng với mọi y nên f(0) = 0 Bước 3: Xét trường hợp y = 1 Thay y = 1 vào phương trình đã cho, ta có: f(f(x)) + f(xf(1)) = 2x Do phương trình này đúng với mọi x nên f(f(x)) = 2x - f(xf(1)) Bước 4: Xét trường hợp x = 1 Thay x = 1 vào phương trình đã cho, ta có: f(yf(1)) + f(f(y)) = 2y Do phương trình này đúng với mọi y nên f(f(y)) = 2y - f(yf(1)) Bước 5: So sánh hai biểu thức của f(f(x)) Ta có: 2x - f(xf(1)) = 2y - f(yf(1)) Suy ra: f(xf(1)) = f(yf(1)) + 2x - 2y Bước 6: Chọn x = y Thay x = y vào phương trình trên, ta có: f(xf(1)) = f(xf(1)) + 2x - 2x Suy ra: 0 = 0 Bước 7: Tìm giá trị của f(1) Thay x = 1 vào phương trình f(f(x)) = 2x - f(xf(1)), ta có: f(f(1)) = 2 - f(f(1)) Suy ra: 2f(f(1)) = 2 Suy ra: f(f(1)) = 1 Bước 8: Tìm giá trị của f(x) Thay y = 1 vào phương trình f(yf(x)) + f(xf(y)) = 2xy, ta có: f(f(x)) + f(x) = 2x Do f(f(1)) = 1 nên thay x = 1 vào phương trình trên, ta có: f(1) + f(1) = 2 Suy ra: f(1) = 1 Bước 9: Tìm giá trị của f(x) Thay y = 1 vào phương trình f(yf(x)) + f(xf(y)) = 2xy, ta có: f(f(x)) + f(x) = 2x Do f(1) = 1 nên thay x = 1 vào phương trình trên, ta có: f(f(x)) + f(x) = 2x Suy ra: f(x) = x Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện đã cho là f(x) = x.