giải giúp mình câu d với ạ

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức theo thứ tự. Dưới đây là lời giải cho câu d: d) Rút gọn biểu thức \( D = \frac{\sin^2\alpha}{-1+\cot\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{1+\tan\alpha}+\sin\alpha\cos\alpha \). Bước 1: Điều kiện xác định - Điều kiện xác định: \(\sin\alpha \neq 0\) và \(\cos\alpha \neq 0\) để \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\) xác định. Bước 2: Rút gọn từng phân thức 1. Xét phân thức \(\frac{\sin^2\alpha}{-1+\cot\alpha}\): - Ta có \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). - Do đó, \(-1 + \cot\alpha = -1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}\). - Vậy \(\frac{\sin^2\alpha}{-1+\cot\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\frac{-\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\sin^3\alpha}{-\sin\alpha + \cos\alpha}\). 2. Xét phân thức \(\frac{\cos^2\alpha}{1+\tan\alpha}\): - Ta có \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). - Do đó, \(1 + \tan\alpha = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}\). - Vậy \(\frac{\cos^2\alpha}{1+\tan\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\). Bước 3: Rút gọn tổng - Biểu thức \(D\) trở thành: \[ D = \frac{\sin^3\alpha}{-\sin\alpha + \cos\alpha} + \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} + \sin\alpha\cos\alpha \] - Để rút gọn, ta nhận thấy rằng: \[ \frac{\sin^3\alpha}{-\sin\alpha + \cos\alpha} + \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha) + \cos^3\alpha(-\sin\alpha + \cos\alpha)}{(-\sin\alpha + \cos\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)} \] - Tử số: \[ \sin^3\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha) + \cos^3\alpha(-\sin\alpha + \cos\alpha) = \sin^3\alpha\cos\alpha + \sin^4\alpha - \cos^3\alpha\sin\alpha + \cos^4\alpha \] - Nhận thấy rằng: \[ \sin^3\alpha\cos\alpha - \cos^3\alpha\sin\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \] - Do đó, tử số có thể viết lại thành: \[ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha + (\sin\alpha\cos\alpha)(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \] - Biểu thức \(D\) trở thành: \[ D = \sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \] - Sử dụng công thức nhân đôi: \(2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)\). Kết luận: Biểu thức \(D\) rút gọn thành \(\sin(2\alpha)\).