Giải phương trình: $x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$.

Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Phương trình đã cho: \[ x^2 + 2x \sqrt{x - \frac{1}{x}} = 3x + 1 \] Bước 1: Đặt \( t = \sqrt{x - \frac{1}{x}} \). Khi đó, \( t \geq 0 \) và \( t^2 = x - \frac{1}{x} \). Bước 2: Thay \( t \) vào phương trình: \[ x^2 + 2xt = 3x + 1 \] Bước 3: Chuyển vế để thu được phương trình bậc hai: \[ x^2 + 2xt - 3x - 1 = 0 \] Bước 4: Ta có \( t^2 = x - \frac{1}{x} \), nhân cả hai vế với \( x \): \[ t^2 x = x^2 - 1 \] \[ x^2 - t^2 x - 1 = 0 \] Bước 5: Giải hệ phương trình: \[ x^2 + 2xt - 3x - 1 = 0 \] \[ x^2 - t^2 x - 1 = 0 \] Bước 6: Trừ hai phương trình trên: \[ (x^2 + 2xt - 3x - 1) - (x^2 - t^2 x - 1) = 0 \] \[ 2xt - 3x + t^2 x = 0 \] \[ x(2t - 3 + t^2) = 0 \] Bước 7: Vì \( x > 0 \), nên: \[ 2t - 3 + t^2 = 0 \] \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] Bước 8: Giải phương trình bậc hai: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ t = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = -3 \] Bước 9: Vì \( t \geq 0 \), nên \( t = 1 \). Bước 10: Thay \( t = 1 \) vào \( t^2 = x - \frac{1}{x} \): \[ 1 = x - \frac{1}{x} \] \[ x^2 - x - 1 = 0 \] Bước 11: Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Bước 12: Vì \( x > 0 \), nên: \[ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]