Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Trong không gian cho tứ diện ABCD. Gọi $H_A$ là trực tâm của tam giác BCD, định nghĩa tương tự,cho $H_B,H_C,H_D.$,Chứng minh rằng bốn điểm $H_A,H_B,H_C,H_D$ là bốn đỉnh của một tứ diện đồng dạng và đồng dạng,nghịch đảo với tứ diện ABCD.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng bốn điểm $ H_A, H_B, H_C, H_D $ là bốn đỉnh của một tứ diện đồng dạng và đồng dạng nghịch đảo với tứ diện $ ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định trực tâm của tam giác:
   - Trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó. Do đó, $ H_A $ là giao điểm của các đường cao của tam giác $ BCD $.

2. Tính chất của trực tâm trong không gian:
   - Trong không gian, nếu ta xét tam giác $ BCD $ và điểm $ A $, thì $ H_A $ là điểm đối xứng của $ A $ qua mặt phẳng $ BCD $. Tương tự, $ H_B $ là điểm đối xứng của $ B $ qua mặt phẳng $ ACD $, $ H_C $ là điểm đối xứng của $ C $ qua mặt phẳng $ ABD $, và $ H_D $ là điểm đối xứng của $ D $ qua mặt phẳng $ ABC $.

3. Chứng minh đồng dạng nghịch đảo:
   - Để chứng minh rằng tứ diện $ H_AH_BH_CH_D $ đồng dạng nghịch đảo với tứ diện $ ABCD $, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh tương ứng của hai tứ diện này tỉ lệ nghịch với nhau.
   - Xét tam giác $ BCD $ và điểm $ A $, ta có $ AH_A $ là đường cao của tứ diện từ đỉnh $ A $ đến mặt phẳng $ BCD $. Tương tự, $ BH_B, CH_C, DH_D $ là các đường cao từ các đỉnh tương ứng đến các mặt phẳng đối diện.
   - Do đó, các đoạn thẳng $ AH_A, BH_B, CH_C, DH_D $ là các đường cao của tứ diện $ ABCD $ và tứ diện $ H_AH_BH_CH_D $ là tứ diện hình thành từ các điểm đối xứng của các đỉnh qua các mặt phẳng đối diện.

4. Kết luận:
   - Tứ diện $ H_AH_BH_CH_D $ là tứ diện hình thành từ các điểm đối xứng của các đỉnh của tứ diện $ ABCD $ qua các mặt phẳng đối diện. Do đó, tứ diện này đồng dạng nghịch đảo với tứ diện $ ABCD $.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng bốn điểm $ H_A, H_B, H_C, H_D $ là bốn đỉnh của một tứ diện đồng dạng và đồng dạng nghịch đảo với tứ diện $ ABCD $.