Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tứ diện đều cạnh a.,a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.,b) Chứng minh rằng tỉ số R/r là hằng số không phụ thuộc vào a.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (R) và mặt cầu nội tiếp (r) của tứ diện đều cạnh $ a $.

a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp

1. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp (R):

Tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau và các mặt là tam giác đều. Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp, ta cần tìm khoảng cách từ tâm của mặt cầu ngoại tiếp đến một đỉnh của tứ diện.

- Gọi $ O $ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Do tứ diện đều có tính đối xứng cao, $ O $ cũng là tâm của hình lập phương nội tiếp tứ diện đều.
- Khoảng cách từ tâm $ O $ đến một đỉnh của tứ diện chính là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp.

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện đều:

$$
R = \frac{a \sqrt{6}}{4}
$$

2. Bán kính mặt cầu nội tiếp (r):

Bán kính mặt cầu nội tiếp là khoảng cách từ tâm của mặt cầu nội tiếp đến một mặt của tứ diện.

- Gọi $ I $ là tâm của mặt cầu nội tiếp. Tâm này cũng là tâm của tứ diện đều.
- Khoảng cách từ $ I $ đến một mặt của tứ diện là bán kính của mặt cầu nội tiếp.

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện đều:

$$
r = \frac{a \sqrt{6}}{12}
$$

b) Chứng minh rằng tỉ số $ \frac{R}{r} $ là hằng số không phụ thuộc vào $ a $

Từ các công thức đã tính được ở trên, ta có:

$$
R = \frac{a \sqrt{6}}{4}
$$
$$
r = \frac{a \sqrt{6}}{12}
$$

Tính tỉ số $ \frac{R}{r} $:

$$
\frac{R}{r} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{4}}{\frac{a \sqrt{6}}{12}} = \frac{a \sqrt{6}}{4} \times \frac{12}{a \sqrt{6}} = \frac{12}{4} = 3
$$

Như vậy, tỉ số $ \frac{R}{r} = 3 $ là một hằng số không phụ thuộc vào $ a $.

Kết luận: Tỉ số giữa bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp của tứ diện đều là 3, không phụ thuộc vào độ dài cạnh $ a $.