Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Để tính khoảng cách giữa hai đường chéo không gian \(AC'\) và \(BA'\) trong lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đặt \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C(a \cos 120^\circ, a \sin 120^\circ, 0)\). - Tính toán: \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) và \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). - Do đó, \(C\) có tọa độ \((-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)\). - Các điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\) là các điểm tương ứng với \(A\), \(B\), \(C\) nhưng có độ cao \(h\), nên: - \(A'(0, 0, h)\) - \(B'(a, 0, h)\) - \(C'(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)\) 2. Viết phương trình đường thẳng \(AC'\) và \(BA'\): - Đường thẳng \(AC'\) đi qua \(A(0, 0, 0)\) và \(C'(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)\). - Vector chỉ phương của \(AC'\) là \(\vec{u} = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)\). - Phương trình tham số của \(AC'\) là: \[ \begin{cases} x = -\frac{a}{2}t \\ y = \frac{a\sqrt{3}}{2}t \\ z = ht \end{cases} \] - Đường thẳng \(BA'\) đi qua \(B(a, 0, 0)\) và \(A'(0, 0, h)\). - Vector chỉ phương của \(BA'\) là \(\vec{v} = (-a, 0, h)\). - Phương trình tham số của \(BA'\) là: \[ \begin{cases} x = a - at \\ y = 0 \\ z = ht \end{cases} \] 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(AC'\) và \(BA'\): - Vector chỉ phương của \(AC'\) là \(\vec{u} = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)\). - Vector chỉ phương của \(BA'\) là \(\vec{v} = (-a, 0, h)\). - Vector nối từ \(A\) đến \(B\) là \(\vec{AB} = (a, 0, 0)\). - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} \] - Tính tích có hướng \(\vec{u} \times \vec{v}\): \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & h \\ -a & 0 & h \end{vmatrix} = \left( a\frac{a\sqrt{3}}{2}, ah, a\frac{a}{2} \right) \] - Tính \(\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\): \[ \vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (a, 0, 0) \cdot \left( a\frac{a\sqrt{3}}{2}, ah, a\frac{a}{2} \right) = a^2\frac{a\sqrt{3}}{2} \] - Độ lớn của \(\vec{u} \times \vec{v}\): \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{\left(a\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (ah)^2 + \left(a\frac{a}{2}\right)^2} \] - Tính khoảng cách \(d\): \[ d = \frac{|a^2\frac{a\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{\left(a\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (ah)^2 + \left(a\frac{a}{2}\right)^2}} \] - Sau khi tính toán, ta có: \[ d = \frac{a^3\sqrt{3}/2}{\sqrt{3a^4/4 + a^2h^2 + a^4/4}} = \frac{a^3\sqrt{3}/2}{\sqrt{a^4 + a^2h^2}} \] - Đơn giản hóa biểu thức: \[ d = \frac{a^3\sqrt{3}/2}{a\sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{a^2\sqrt{3}/2}{\sqrt{a^2 + h^2}} \] Vậy, khoảng cách giữa hai đường chéo không gian \(AC'\) và \(BA'\) là \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2 + h^2}}\).