Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho bốn mặt phẳng $\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4$ đôi một không song song và không đồng quy.,Chứng minh rằng nếu chúng bao quanh một tứ diện thì tồn tại duy nhất một mặt cầu tiếp xúc với cả,bốn mặt phẳng đó.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng nếu bốn mặt phẳng $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4$ đôi một không song song và không đồng quy bao quanh một tứ diện thì tồn tại duy nhất một mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt phẳng đó, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tứ diện:
   - Do bốn mặt phẳng $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4$ đôi một không song song và không đồng quy, chúng cắt nhau tạo thành một tứ diện. Giả sử tứ diện này có các đỉnh là $A, B, C, D$.

2. Tính chất của mặt cầu tiếp xúc:
   - Một mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng nếu khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính của mặt cầu.

3. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu:
   - Giả sử mặt cầu có tâm $O(x_0, y_0, z_0)$ và bán kính $R$. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $\pi_1$ tại điểm $P_1$, với mặt phẳng $\pi_2$ tại điểm $P_2$, với mặt phẳng $\pi_3$ tại điểm $P_3$, và với mặt phẳng $\pi_4$ tại điểm $P_4$.
   - Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến mỗi mặt phẳng $\pi_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$) đều bằng $R$.

4. Thiết lập hệ phương trình:
   - Giả sử phương trình của các mặt phẳng là:
     $$
     \pi_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0
     $$
     $$
     \pi_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0
     $$
     $$
     \pi_3: a_3x + b_3y + c_3z + d_3 = 0
     $$
     $$
     \pi_4: a_4x + b_4y + c_4z + d_4 = 0
     $$
   - Khoảng cách từ $O(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $\pi_i$ là:
     $$
     \frac{|a_ix_0 + b_iy_0 + c_iz_0 + d_i|}{\sqrt{a_i^2 + b_i^2 + c_i^2}} = R
     $$
   - Từ đó, ta có hệ phương trình:
     $$
     \frac{|a_1x_0 + b_1y_0 + c_1z_0 + d_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}} = R
     $$
     $$
     \frac{|a_2x_0 + b_2y_0 + c_2z_0 + d_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} = R
     $$
     $$
     \frac{|a_3x_0 + b_3y_0 + c_3z_0 + d_3|}{\sqrt{a_3^2 + b_3^2 + c_3^2}} = R
     $$
     $$
     \frac{|a_4x_0 + b_4y_0 + c_4z_0 + d_4|}{\sqrt{a_4^2 + b_4^2 + c_4^2}} = R
     $$

5. Giải hệ phương trình:
   - Hệ phương trình trên có thể được giải để tìm $x_0, y_0, z_0, R$. Do các mặt phẳng không song song và không đồng quy, hệ phương trình này có nghiệm duy nhất, xác định duy nhất tâm $O$ và bán kính $R$ của mặt cầu.

6. Kết luận:
   - Do đó, tồn tại duy nhất một mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt phẳng $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu bốn mặt phẳng đôi một không song song và không đồng quy bao quanh một tứ diện thì tồn tại duy nhất một mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt phẳng đó.