Một số nguyên dương được viết trên một bảng đen. Tổng của hai số bất kì trong chúng là lũy thừa của 2. Hỏi trên bảng có thể có nhiều nhất bao nhiêu số phân biệt?

Giả sử trên bảng có n số phân biệt thỏa mãn đề bài. Ta sẽ chứng minh rằng n ≤ 2. Gọi các số trên bảng là a₁, a₂, ..., aₙ. Xét tổng của hai số bất kì trong chúng: a_i + a_j = 2^k (với i ≠ j và k là số nguyên dương). Ta thấy rằng nếu tồn tại ba số a, b, c trên bảng thì ta có: a + b = 2^p, a + c = 2^q, b + c = 2^r, Cộng vế theo vế ta có: (a + b) + (a + c) + (b + c) = 2^p + 2^q + 2^r, 2(a + b + c) = 2^p + 2^q + 2^r. Vì 2^p, 2^q, 2^r là các lũy thừa của 2 nên tổng của chúng cũng là một lũy thừa của 2. Do đó, 2(a + b + c) cũng phải là một lũy thừa của 2. Tuy nhiên, 2(a + b + c) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì a, b, c là các số nguyên dương khác nhau). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng 2(a + b + c) là một lũy thừa của 2. Do đó, trên bảng không thể có ba số phân biệt thỏa mãn đề bài. Vậy, trên bảng có thể có nhiều nhất 2 số phân biệt. Đáp án: Trên bảng có thể có nhiều nhất 2 số phân biệt.