Không gian. Tứ diện ABCD không đều. Gọi r_a, r_b, r_c, r_d lần lượt là bán kính các mặt cầu bàng tiếp ngoài tiếp xúc với ba mặt còn lại đối với các đỉnh A,B,C,D. Chứng minh tồn tại duy nhất đường thẳng l đi qua tâm ngoại tiếp O của tứ diện sao cho khoảng cách từ l đến bốn mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tỉ lệ thuận với r_a, r_b, r_c, r_d.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh tồn tại duy nhất đường thẳng $ l $ đi qua tâm ngoại tiếp $ O $ của tứ diện $ ABCD $ sao cho khoảng cách từ $ l $ đến bốn mặt phẳng $(BCD)$, $(CDA)$, $(DAB)$, $(ABC)$ tỉ lệ thuận với $ r_a, r_b, r_c, r_d $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm ngoại tiếp $ O $ của tứ diện:
   - Tâm ngoại tiếp $ O $ là điểm cách đều bốn đỉnh $ A, B, C, D $ của tứ diện. Do đó, $ O $ nằm trên các đường trung trực của các cạnh của tứ diện.

2. Xác định các mặt cầu bàng tiếp:
   - Mặt cầu bàng tiếp tại đỉnh $ A $ là mặt cầu tiếp xúc với ba mặt phẳng $(BCD)$, $(CDA)$, $(DAB)$ và có bán kính $ r_a $.
   - Tương tự, xác định các mặt cầu bàng tiếp tại các đỉnh $ B, C, D $ với bán kính lần lượt là $ r_b, r_c, r_d $.

3. Xác định đường thẳng $ l $:
   - Đường thẳng $ l $ cần đi qua $ O $ và có khoảng cách đến các mặt phẳng $(BCD)$, $(CDA)$, $(DAB)$, $(ABC)$ tỉ lệ thuận với $ r_a, r_b, r_c, r_d $.
   - Để tìm $ l $, ta cần tìm một vectơ chỉ phương $ \vec{u} $ của $ l $ sao cho:
     $$
     \frac{d(l, (BCD))}{r_a} = \frac{d(l, (CDA))}{r_b} = \frac{d(l, (DAB))}{r_c} = \frac{d(l, (ABC))}{r_d}
     $$
   - Khoảng cách từ một điểm trên $ l $ đến một mặt phẳng có thể được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

4. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất:
   - Do các mặt cầu bàng tiếp có bán kính khác nhau và tiếp xúc với các mặt phẳng khác nhau, điều này tạo ra một hệ phương trình tuyến tính cho các khoảng cách tỉ lệ.
   - Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất do các điều kiện hình học của tứ diện không đều và các mặt cầu bàng tiếp.
   - Từ đó, tồn tại duy nhất một vectơ chỉ phương $ \vec{u} $ thỏa mãn điều kiện trên, và do đó tồn tại duy nhất đường thẳng $ l $.

5. Kết luận:
   - Đã chứng minh được rằng tồn tại duy nhất đường thẳng $ l $ đi qua tâm ngoại tiếp $ O $ của tứ diện $ ABCD $ sao cho khoảng cách từ $ l $ đến bốn mặt phẳng $(BCD)$, $(CDA)$, $(DAB)$, $(ABC)$ tỉ lệ thuận với $ r_a, r_b, r_c, r_d $.

Không gian. Tứ diện ABCD không đều. Gọi r_a, r_b, r_c, r_d lần lượt là bán kính các mặt cầu bàng tiếp ngoài tiếp xúc với ba mặt còn lại đối với các đỉnh A,B,C,D. Chứng minh tồn tại duy nhất đường thẳng...