Hình chóp đều S.ABCD (đáy vuông cạnh a, cạnh bên bằng b, ba). Trên SA lấy M sao cho SM/MA = k0. Gọi α là góc giữa đường thẳng qua M vuông góc với (SBC) và mặt phẳng (ABCD). Tìm công thức tường minh của tan α theo a, b, k và chỉ ra điều kiện (a, b, k) để α cực đại.

Question

Hình chóp đều S.ABCD (đáy vuông cạnh a, cạnh bên bằng b, b>a). Trên SA lấy M sao cho SM/MA = k>0. Gọi α là góc giữa đường thẳng qua M vuông góc với (SBC) và mặt phẳng (ABCD). Tìm công thức tường minh của tan α theo a, b, k và chỉ ra điều kiện (a, b, k) để α cực đại.

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố hình học cơ bản:

- Hình chóp đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ với cạnh $ a $.
   - Cạnh bên $ SA = SB = SC = SD = b $.

2. Tìm tọa độ các điểm:

- Đặt hệ trục tọa độ $ Oxyz $ với $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $, trục $ Oz $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $.
   - Khi đó, tọa độ các điểm là:
     - $ A\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) $
     - $ B\left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) $
     - $ C\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) $
     - $ D\left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) $
     - $ S(0, 0, h) $ với $ h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}} $.

3. Xác định điểm $ M $ trên $ SA $:

- Gọi $ M $ là điểm trên $ SA $ sao cho $ \frac{SM}{MA} = k $.
   - Tọa độ của $ M $ là $ M\left(-\frac{ka}{2(k+1)}, -\frac{ka}{2(k+1)}, \frac{kh}{k+1}\right) $.

4. Xác định mặt phẳng $ (SBC) $:

- Phương trình mặt phẳng $ (SBC) $ có dạng: $ x - y + z = 0 $.

5. Tìm đường thẳng qua $ M $ vuông góc với $ (SBC) $:

- Đường thẳng qua $ M $ vuông góc với $ (SBC) $ có vectơ chỉ phương là $ \vec{n} = (1, -1, 1) $.
   - Phương trình đường thẳng là:
     $$
     \begin{cases}
     x = -\frac{ka}{2(k+1)} + t \
     y = -\frac{ka}{2(k+1)} - t \
     z = \frac{kh}{k+1} + t
     \end{cases}
     $$

6. Tính góc $ \alpha $:

- Góc $ \alpha $ là góc giữa đường thẳng trên và mặt phẳng $ (ABCD) $.
   - Vectơ pháp tuyến của $ (ABCD) $ là $ \vec{n}_{ABCD} = (0, 0, 1) $.
   - Cosine của góc $ \alpha $ là:
     $$
     \cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_{ABCD}|}{\|\vec{n}\| \cdot \|\vec{n}_{ABCD}\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}
     $$
   - Do đó, $ \tan \alpha = \sqrt{3} $.

7. Điều kiện để $ \alpha $ cực đại:

- Để $ \alpha $ cực đại, cần $ \tan \alpha $ cực đại. Tuy nhiên, trong trường hợp này, $ \tan \alpha = \sqrt{3} $ là hằng số, không phụ thuộc vào $ a, b, k $.
   - Do đó, không có điều kiện cụ thể nào để $ \alpha $ cực đại trong bài toán này.

Kết luận: $ \tan \alpha = \sqrt{3} $ và không có điều kiện cụ thể để $ \alpha $ cực đại.

Hình chóp đều S.ABCD (đáy vuông cạnh a, cạnh bên bằng b, b>a). Trên SA lấy M sao cho SM/MA = k>0. Gọi α là góc giữa đường thẳng qua M vuông góc với (SBC) và mặt phẳng (ABCD). Tìm công thức tường minh c...