Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $I_5=\int^1_0\frac{\ln(1-x)}{\sqrt{x(1-x)}}dx$,Gợi ý: đặt $x=\sin^2.$ t; xuất hiện ln 2 và hằng số Catalan/1t.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán tích phân $ I_5 = \int^1_0 \frac{\ln(1-x)}{\sqrt{x(1-x)}} \, dx $, ta sẽ thực hiện phép đổi biến thích hợp. Gợi ý cho chúng ta là đặt $ x = \sin^2 t $.

Bước 1: Đổi biến
Đặt $ x = \sin^2 t $, khi đó $ dx = 2\sin t \cos t \, dt = \sin(2t) \, dt $.

Giới hạn của $ x $ từ 0 đến 1 tương ứng với $ t $ từ 0 đến $ \frac{\pi}{2} $.

Bước 2: Biểu thức dưới dấu tích phân
Khi $ x = \sin^2 t $, ta có:
- $ 1-x = \cos^2 t $
- $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\sin^2 t \cos^2 t} = \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$

Thay vào tích phân, ta có:
$$
I_5 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1-\sin^2 t)}{\sin t \cos t} \cdot \sin(2t) \, dt
$$

Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức
Biểu thức trên trở thành:
$$
I_5 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos^2 t) \, dt = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos t) \, dt
$$

Bước 4: Tính tích phân
Tích phân $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos t) \, dt $ là một tích phân nổi tiếng và có giá trị bằng $-\frac{\pi}{2} \ln 2$.

Do đó:
$$
I_5 = 2 \left(-\frac{\pi}{2} \ln 2\right) = -\pi \ln 2
$$

Kết luận
Giá trị của tích phân $ I_5 $ là $-\pi \ln 2$.