giúp em với 1 huhu

Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = (4 - x^2)^2 + 1 \) trên đoạn \([-1, 1]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = (4 - x^2)^2 + 1 \] Đặt \( u = 4 - x^2 \), thì \( y = u^2 + 1 \). Ta có: \[ \frac{dy}{du} = 2u \] và \[ \frac{du}{dx} = -2x \] Áp dụng quy tắc chuỗi: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (-2x) = -4x(4 - x^2) \] 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ -4x(4 - x^2) = 0 \] Giải phương trình này: \[ -4x(4 - x^2) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4 - x^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Tuy nhiên, vì chúng ta đang xét trên đoạn \([-1, 1]\), nên chỉ có \( x = 0 \) nằm trong đoạn này. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối của đoạn và tại các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (4 - (-1)^2)^2 + 1 = (4 - 1)^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = (4 - 0^2)^2 + 1 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (4 - 1^2)^2 + 1 = (4 - 1)^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: - \( y(-1) = 10 \) - \( y(0) = 17 \) - \( y(1) = 10 \) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 1]\) là 17, đạt được khi \( x = 0 \). Đáp án: D. 17 Câu 2: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên đoạn \([1; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{vì } x > 0) \] 3. Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3 + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: - \( y(1) = 5 \) - \( y(2) = 4 \) - \( y(3) \approx 4.33 \) Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là \( 5 \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên đoạn \([1; 3]\) là: \[ \boxed{\max_{[1;3]} y = 5} \] Câu 3: Để tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1;5]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất (GTLN): - Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(3\) tại \(x = 5\). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất (GTNN): - Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(-2\) tại \(x = 2\). 3. Tính tổng GTLN và GTNN: - Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là: \(3 + (-2) = 1\). Vậy, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1;5]\) là \(1\). Đáp án: C. 1 Câu 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([-3; 3]\): - Tại \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^3 - 3(3) + 2 = 27 - 9 + 2 = 20 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(-3) = -16 \) - \( f(-1) = 4 \) - \( f(1) = 0 \) - \( f(3) = 20 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \(-16\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3; 3]\) là \(-16\). Đáp án đúng là: B. -16. Câu 5: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \((-1; +\infty)\), ta cần phân tích bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Xét dấu của \( f'(x) \): - Trên khoảng \((-1; 0)\), \( f'(x) > 0\), hàm số đồng biến. - Tại \( x = 0\), \( f'(x) = 0\). - Trên khoảng \((0; +\infty)\), \( f'(x) < 0\), hàm số nghịch biến. 2. Phân tích sự biến thiên: - Từ \(-1\) đến \(0\), hàm số đồng biến, do đó giá trị tại \( x = 0 \) có thể là giá trị lớn nhất trong khoảng này. - Từ \(0\) trở đi, hàm số nghịch biến, do đó giá trị tại \( x = 0 \) là giá trị lớn nhất trên đoạn \((-1; +\infty)\). 3. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \((-1; +\infty)\) là \( f(0) \). Vậy đáp án đúng là \( D.~f(0) \). Câu 6: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm ĐKXĐ: Hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) có mẫu số là \( \sin x + 1 \). Vì \( \sin x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \( \sin x + 1 \geq 0 \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\). Do đó, hàm số luôn xác định trên đoạn này. 2. Tìm GTLN và GTNN: Ta sẽ xét hàm số \( y = \frac{3\sin x + 2}{\sin x + 1} \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\). - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{3\sin 0 + 2}{\sin 0 + 1} = \frac{2}{1} = 2 \] - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\sin \frac{\pi}{2} + 2}{\sin \frac{\pi}{2} + 1} = \frac{3 \cdot 1 + 2}{1 + 1} = \frac{5}{2} = 2.5 \] - Xét đạo hàm để tìm cực trị: \[ y' = \frac{(3\cos x)(\sin x + 1) - (3\sin x + 2)(\cos x)}{(\sin x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{3\cos x \sin x + 3\cos x - 3\sin x \cos x - 2\cos x}{(\sin x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{\cos x}{(\sin x + 1)^2} \] Đặt \( y' = 0 \): \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \] Ta đã xét giá trị tại \( x = \frac{\pi}{2} \) ở trên. 3. So sánh các giá trị: - Tại \( x = 0 \): \( y = 2 \) - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = 2.5 \) Vậy, giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là \( M = 2.5 \) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là \( m = 2 \). 4. Tính \( M^2 + m^2 \): \[ M^2 + m^2 = (2.5)^2 + 2^2 = 6.25 + 4 = 10.25 = \frac{41}{4} \] Đáp án đúng là: \[ C. \frac{41}{4} \]