giúp em cới ạ cứu

Câu 7: Để tìm thời điểm chất điểm đạt vận tốc lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm vận tốc \( v(t) = -3t^2 + 12t + 1 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t + 1) = -6t + 12 \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ -6t + 12 = 0 \] \[ -6t = -12 \] \[ t = 2 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định điểm cực đại: - Khi \( t < 2 \), \( v'(t) > 0 \) (hàm tăng) - Khi \( t > 2 \), \( v'(t) < 0 \) (hàm giảm) Do đó, tại \( t = 2 \), hàm vận tốc đạt giá trị lớn nhất. Vậy, chất điểm đạt vận tốc lớn nhất sau 2 giây. Đáp án: A. 2(s). Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của bể cá sao cho chi phí làm bể là thấp nhất. Bể cá có dạng hình hộp chữ nhật với chiều cao cố định là 60 cm và thể tích là \(96000~cm^3\). Gọi \(x\) là chiều dài và \(y\) là chiều rộng của đáy bể (đơn vị cm). Khi đó, thể tích của bể được tính bằng công thức: \[ V = x \cdot y \cdot 60 = 96000 \] Suy ra: \[ x \cdot y = \frac{96000}{60} = 1600 \] Chi phí làm bể cá bao gồm chi phí làm mặt đáy và chi phí làm các mặt bên. Diện tích mặt đáy là \(x \cdot y\) và diện tích các mặt bên là \(2(x + y) \cdot 60\). Chi phí làm mặt đáy: \[ C_{\text{đáy}} = 100000 \cdot \frac{x \cdot y}{10000} = 100000 \cdot \frac{1600}{10000} = 16000~\text{VNĐ} \] Chi phí làm các mặt bên: \[ C_{\text{bên}} = 70000 \cdot \frac{2(x + y) \cdot 60}{10000} = 70000 \cdot \frac{120(x + y)}{10000} = 840 \cdot (x + y)~\text{VNĐ} \] Tổng chi phí: \[ C = C_{\text{đáy}} + C_{\text{bên}} = 16000 + 840(x + y) \] Để tối thiểu hóa chi phí \(C\), ta cần tối thiểu hóa \(x + y\) với điều kiện \(x \cdot y = 1600\). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (x + y)^2 \leq 2(x \cdot y) = 2 \cdot 1600 = 3200 \] \[ x + y \leq \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \] Dấu "=" xảy ra khi \(x = y\). Khi đó: \[ x^2 = 1600 \Rightarrow x = y = \sqrt{1600} = 40 \] Thay vào công thức chi phí: \[ C = 16000 + 840 \cdot (40 + 40) = 16000 + 840 \cdot 80 = 16000 + 67200 = 83200~\text{VNĐ} \] Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \(83200~\text{VNĐ}\). Đáp án đúng là D. 83200 VNĐ. Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số để tìm các điểm cực trị trong khoảng [1, 2]. 3. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1, 2]. 4. Dùng điều kiện \(\min_{[1;2]} y + \max_{[1;2]} y = \frac{16}{3}\) để tìm giá trị của \(m\). Bước 1: Điều kiện xác định Hàm số \(y = \frac{x + m}{x + 1}\) có mẫu số là \(x + 1\). Để hàm số xác định, ta cần \(x + 1 \neq 0\), tức là \(x \neq -1\). Vì \(x\) nằm trong đoạn \([1, 2]\), nên điều kiện này luôn thỏa mãn. Bước 2: Tính đạo hàm Ta tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x + m}{x + 1}\): \[ y' = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x + m) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1 - m}{(x + 1)^2}. \] Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Đạo hàm \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\), do đó dấu của \(y'\) phụ thuộc vào \(1 - m\). - Nếu \(1 - m > 0\) (tức là \(m < 1\)), thì \(y'\) dương, hàm số tăng trên đoạn \([1, 2]\). - Nếu \(1 - m < 0\) (tức là \(m > 1\)), thì \(y'\) âm, hàm số giảm trên đoạn \([1, 2]\). - Nếu \(1 - m = 0\) (tức là \(m = 1\)), thì \(y'\) bằng 0, hàm số không đổi. Do đó, ta xét hai trường hợp: 1. Hàm số tăng trên đoạn \([1, 2]\) nếu \(m < 1\). 2. Hàm số giảm trên đoạn \([1, 2]\) nếu \(m > 1\). Bước 4: Dùng điều kiện \(\min_{[1;2]} y + \max_{[1;2]} y = \frac{16}{3}\) - Nếu \(m < 1\), hàm số tăng trên đoạn \([1, 2]\), nên: \[ \min_{[1;2]} y = y(1) = \frac{1 + m}{2}, \quad \max_{[1;2]} y = y(2) = \frac{2 + m}{3}. \] Ta có: \[ \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{16}{3}. \] Giải phương trình này: \[ 3(1 + m) + 2(2 + m) = 32, \] \[ 3 + 3m + 4 + 2m = 32, \] \[ 5m + 7 = 32, \] \[ 5m = 25, \] \[ m = 5. \] Nhưng \(m = 5\) không thỏa mãn \(m < 1\). - Nếu \(m > 1\), hàm số giảm trên đoạn \([1, 2]\), nên: \[ \min_{[1;2]} y = y(2) = \frac{2 + m}{3}, \quad \max_{[1;2]} y = y(1) = \frac{1 + m}{2}. \] Ta có: \[ \frac{2 + m}{3} + \frac{1 + m}{2} = \frac{16}{3}. \] Giải phương trình này: \[ 2(2 + m) + 3(1 + m) = 32, \] \[ 4 + 2m + 3 + 3m = 32, \] \[ 5m + 7 = 32, \] \[ 5m = 25, \] \[ m = 5. \] Nhưng \(m = 5\) không thỏa mãn \(m > 1\). Vậy, \(m\) phải nằm trong khoảng \(0 < m \leq 2\). Kết luận Mệnh đề đúng là: \[ D.~0 < m \leq 2. \] Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{x+1}{x-m^2} \) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([-3, -2]\) là \(\frac{1}{2}\). Bước 1: Tìm ĐKXĐ Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-m^2} \) có mẫu số khác 0, tức là: \[ x - m^2 \neq 0 \] \[ x \neq m^2 \] Trên đoạn \([-3, -2]\), \( x \) nằm trong khoảng từ \(-3\) đến \(-2\). Do đó, \( m^2 \) không được nằm trong khoảng này. Tức là: \[ m^2 \notin [-3, -2] \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-3, -2]\) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x+1}{x-m^2} \) trên đoạn \([-3, -2]\). Tính đạo hàm của \( y \): \[ y = \frac{x+1}{x-m^2} \] \[ y' = \frac{(x-m^2)(1) - (x+1)(1)}{(x-m^2)^2} \] \[ y' = \frac{x - m^2 - x - 1}{(x-m^2)^2} \] \[ y' = \frac{-m^2 - 1}{(x-m^2)^2} \] Do \( (x-m^2)^2 > 0 \) nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số: \[ -m^2 - 1 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên toàn bộ miền xác định, nghĩa là hàm số \( y \) giảm trên đoạn \([-3, -2]\). Bước 3: Xác định giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([-3, -2]\) Vì hàm số giảm trên đoạn \([-3, -2]\), giá trị nhỏ nhất sẽ đạt tại \( x = -2 \). Thay \( x = -2 \) vào hàm số: \[ y = \frac{-2 + 1}{-2 - m^2} \] \[ y = \frac{-1}{-2 - m^2} \] \[ y = \frac{1}{2 + m^2} \] Theo đề bài, giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \(\frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{2 + m^2} = \frac{1}{2} \] \[ 2 + m^2 = 2 \] \[ m^2 = 0 \] \[ m = 0 \] Bước 4: Kiểm tra các đáp án - \( A.~3 < m \leq 4 \) - \( B.~-2 < m \leq 3 \) - \( C.~m > 4 \) - \( D.~m \leq -2 \) Rõ ràng, \( m = 0 \) không nằm trong bất kỳ khoảng nào trong các đáp án trên. Tuy nhiên, ta đã suy ra rằng \( m^2 \) không được nằm trong khoảng \([-3, -2]\), và \( m = 0 \) thỏa mãn điều này. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~-2 < m \leq 3} \] Câu 11: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời của vật: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của vật tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). \[ s(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2 \] Đạo hàm \( s(t) \) theo \( t \): \[ v(t) = s'(t) = -t^2 + 12t \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 0 đến 9 giây: Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \) trong khoảng \( [0, 9] \), chúng ta cần tìm các điểm cực trị của \( v(t) \) và so sánh giá trị của \( v(t) \) tại các điểm này và tại biên của khoảng. - Tìm đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -2t + 12 \] - Giải phương trình \( v'(t) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ -2t + 12 = 0 \implies t = 6 \] - Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại \( t = 6 \), \( t = 0 \), và \( t = 9 \): \[ v(6) = -(6)^2 + 12(6) = -36 + 72 = 36 \text{ (m/s)} \] \[ v(0) = -(0)^2 + 12(0) = 0 \text{ (m/s)} \] \[ v(9) = -(9)^2 + 12(9) = -81 + 108 = 27 \text{ (m/s)} \] 3. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - \( v(6) = 36 \text{ (m/s)} \) - \( v(0) = 0 \text{ (m/s)} \) - \( v(9) = 27 \text{ (m/s)} \) Giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là 36 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây. Đáp án: \( D.~36(m/s) \) Câu 12: Để tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x - m^2 + m}{x + 1} \) trên đoạn \([0; 1]\) bằng \(-2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x - m^2 + m}{x + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(1)(x + 1) - (x - m^2 + m)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + m^2 - m}{(x + 1)^2} = \frac{m^2 - m + 1}{(x + 1)^2} \] 2. Phân tích dấu của đạo hàm: \[ y' = \frac{m^2 - m + 1}{(x + 1)^2} \] Vì \((x + 1)^2 > 0\) trên đoạn \([0; 1]\), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( m^2 - m + 1 \). Ta thấy rằng \( m^2 - m + 1 \) là một tam thức bậc hai với biệt thức \(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\). Do đó, \( m^2 - m + 1 > 0 \) với mọi \( m \). Vậy \( y' > 0 \) trên đoạn \([0; 1]\), tức là hàm số \( y \) đồng biến trên đoạn này. 3. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 1]\): Vì hàm số đồng biến trên đoạn \([0; 1]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ đạt tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0 - m^2 + m}{0 + 1} = -m^2 + m \] 4. Đặt điều kiện để giá trị nhỏ nhất bằng \(-2\): \[ -m^2 + m = -2 \] Giải phương trình: \[ -m^2 + m + 2 = 0 \implies m^2 - m - 2 = 0 \] Phương trình này có nghiệm: \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Từ đó ta có: \[ m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = -1 \] 5. Kết luận: Các giá trị của tham số \( m \) thỏa mãn điều kiện đề bài là: \[ \boxed{\left[\begin{array}{l}m = -1 \\ m = 2\end{array}\right.} \] Câu 1: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \). a) Hàm số \( y = f(x) \) có hai cực trị - Hàm số \( y = f(x) \) có cực trị khi và chỉ khi \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu quanh điểm đó. - Quan sát đồ thị \( y = f'(x) \), ta thấy \( f'(x) = 0 \) tại các điểm \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 4 \). - Tại \( x = -1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = -1 \) là điểm cực tiểu của \( f(x) \). - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 1 \) là điểm cực đại của \( f(x) \). - Tại \( x = 4 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 4 \) là điểm cực tiểu của \( f(x) \). Vậy, hàm số \( y = f(x) \) có ba cực trị. Khẳng định a) là sai. b) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1;+\infty) \) - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng nào đó khi \( f'(x) > 0 \) trên khoảng đó. - Quan sát đồ thị \( y = f'(x) \), ta thấy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (4; +\infty) \). Vậy, hàm số \( y = f(x) \) không đồng biến trên khoảng \( (1;+\infty) \) mà chỉ đồng biến trên khoảng \( (4;+\infty) \). Khẳng định b) là sai.