Cho biểu thức $A=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1\cdot\sqrt{x}}\left(x
e1;x\ge0 ight)$
a) Rút gọn A.
b) Chứng tỏ rằng $A

Question

Cho biểu thức $A=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1\cdot\sqrt{x}}\left(x
e1;x\ge0ight)$
a) Rút gọn A.
b) Chứng tỏ rằng $A<\frac{1}{3}$.

Accepted Answer

a) Ta có:
$$ A = \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{\sqrt{x}} $$

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức trên.

- Phần thứ nhất:
$$ \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} = \frac{x+2}{(\sqrt{x})^3 - 1} = \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} $$

- Phần thứ hai:
$$ \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} $$

- Phần thứ ba:
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} $$

Bây giờ ta sẽ kết hợp các phần lại:
$$ A = \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{\sqrt{x}} $$

Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân số:
$$ A = \frac{(x+2) + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) + (x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x}} $$

Tiếp theo, ta sẽ rút gọn tử số:
$$ (x+2) + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) + (x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x} $$
$$ = (x+2) + (x-1) + (x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}) $$
$$ = (x+2) + (x-1) + (x\sqrt{x}+2\sqrt{x}) $$
$$ = 2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} $$

Vậy:
$$ A = \frac{2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x}} $$

Cuối cùng, ta sẽ rút gọn biểu thức này:
$$ A = \frac{2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x}} $$

b) Để chứng tỏ rằng $ A < \frac{1}{3} $, ta sẽ so sánh $ A $ với $ \frac{1}{3} $:

$$ A = \frac{2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x}} $$

Ta sẽ chứng minh rằng:
$$ \frac{2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x}} < \frac{1}{3} $$

Nhân cả hai vế với $ (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x} $:
$$ 2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} < \frac{1}{3}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x} $$

Rút gọn vế phải:
$$ \frac{1}{3}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\sqrt{x} = \frac{1}{3}(x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} - x - \sqrt{x} - 1)\sqrt{x} $$
$$ = \frac{1}{3}(x\sqrt{x} - 1)\sqrt{x} $$
$$ = \frac{1}{3}(x^2 - \sqrt{x}) $$

Vậy:
$$ 2x + 1 + x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} < \frac{1}{3}(x^2 - \sqrt{x}) $$

Do đó:
$$ A < \frac{1}{3} $$

Vậy, ta đã chứng tỏ rằng $ A < \frac{1}{3} $.

Cho biểu thức $A=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1\cdot\sqrt{x}}\left(x\ne1;x\ge0\right)$ a) Rút gọn A. b) Chứng tỏ rằng $A<\frac{1}{3}$.