Câu $\rm 5$. Câu 5: (1,5 điểm),Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông,tại A, $SA=a\sqrt3,SB=2a.$ Điểm M nằm trên AD sao cho $AM=2MD.$ Gọi (P) là mặt phẳng,qua M và song song với (SAB).,a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.,b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bới mặt phẳng (P).

Question

Accepted Answer

Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ CD $.

1. Xác định các vector chỉ phương:
   - Đáy $ ABCD $ là hình bình hành, do đó $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} $.
   - Vector chỉ phương của $ SB $ là $ \overrightarrow{SB} $.
   - Vector chỉ phương của $ CD $ là $ \overrightarrow{CD} $.

2. Tính góc giữa hai vector:
   - Góc giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ CD $ chính là góc giữa hai vector $ \overrightarrow{SB} $ và $ \overrightarrow{CD} $.
   - Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vector:
     $$
     \cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD}}{\|\overrightarrow{SB}\| \cdot \|\overrightarrow{CD}\|}
     $$
   - Tính tích vô hướng $ \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD} $ và độ dài của các vector.

3. Kết luận:
   - Tính toán để tìm ra giá trị của $ \theta $.

b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

1. Xác định vị trí của điểm M:
   - Điểm $ M $ nằm trên $ AD $ sao cho $ AM = 2MD $. Do đó, $ M $ chia $ AD $ theo tỉ lệ $ 2:1 $.

2. Xác định mặt phẳng (P):
   - Mặt phẳng (P) đi qua $ M $ và song song với mặt phẳng $ (SAB) $.
   - Do (P) song song với (SAB), nên thiết diện là một hình bình hành.

3. Xác định các điểm cắt:
   - Mặt phẳng (P) cắt các cạnh của hình chóp tại các điểm sao cho tạo thành một hình bình hành.
   - Sử dụng tính chất song song và tỉ lệ để xác định các điểm cắt trên các cạnh khác của hình chóp.

4. Tính diện tích thiết diện:
   - Diện tích của thiết diện (hình bình hành) có thể được tính bằng cách sử dụng công thức diện tích hình bình hành:
     $$
     S = \text{độ dài đáy} \times \text{chiều cao}
     $$
   - Sử dụng các tỉ lệ đã biết để tính toán độ dài và chiều cao của hình bình hành.

5. Kết luận:
   - Tính toán để tìm ra diện tích của thiết diện.

Lưu ý: Để thực hiện các bước trên, cần có thêm thông tin về tọa độ hoặc các độ dài cụ thể của các cạnh trong hình chóp. Nếu không có thông tin cụ thể, chúng ta chỉ có thể đưa ra phương pháp giải mà không thể tính toán chính xác giá trị số.