Giải hộ mình câu này với các bạn

Cho ta tóm tắt dữ liệu đề bài: - Điện dung của tụ điện: \( C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} F \) - Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: \( U = 250 V \) - Khối lượng tấm điện môi: \( M = 90 g = 0.09 kg \) - Hằng số điện môi: \( \varepsilon = 4 \) - Khối lượng vật nhỏ: \( m = 10 g = 0.01 kg \) - Vận tốc ban đầu của vật nhỏ: \( v = 50 m/s \) --- **1. Tính vận tốc của tấm điện môi ngay sau va chạm.** --- **Bước 1:** Tính lực điện tác dụng lên tấm điện môi. Khi ta đặt tấm điện môi vào giữa hai bản tụ, điện dung thay đổi. Điện dung của tụ điện phẳng ban đầu: \[ C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \] Sau khi đặt tấm điện môi dày \( x \) (ở đây ta có thể coi x là độ dày của tấm điện môi) vào giữa hai bản tụ thì điện dung thay đổi. Tuy nhiên, đề bài không cho độ dày tấm điện môi, do đó ta sẽ dùng cách tính lực điện theo công thức sau: Lực điện hút tấm điện môi vào trong tụ là: \[ F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d^2} U^2 \] Nhưng vì ta không có diện tích \(S\) và khoảng cách \(d\), ta sẽ sử dụng công thức lực điện trên tấm điện môi dựa vào thay đổi năng lượng điện trường. --- **Bước 2:** Cách tính vận tốc sau va chạm. Ta xét va chạm mềm giữa vật nhỏ khối lượng \( m \) với vận tốc \( v \) và tấm điện môi khối lượng \( M \) ban đầu đứng yên. Giả sử vận tốc tấm điện môi sau va chạm là \( V \), vận tốc vật nhỏ sau va chạm là \( v' \). Vì va chạm mềm nên bảo toàn động lượng: \[ m v = m v' + M V \] Và bảo toàn động năng (vì va chạm mềm là va chạm đàn hồi hoàn toàn): \[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v'^2 + \frac{1}{2} M V^2 \] Ta cần tìm \( V \), nhưng ta có hai ẩn \( V \) và \( v' \). Giải hệ trên: Từ bảo toàn động lượng: \[ m (v - v') = M V \implies V = \frac{m}{M} (v - v') \] Thay vào bảo toàn động năng: \[ m v^2 = m v'^2 + M V^2 = m v'^2 + M \left( \frac{m}{M} (v - v') \right)^2 = m v'^2 + \frac{m^2}{M} (v - v')^2 \] Chia cả hai vế cho \( m \): \[ v^2 = v'^2 + \frac{m}{M} (v - v')^2 \] Đặt \( r = \frac{m}{M} = \frac{0.01}{0.09} = \frac{1}{9} \approx 0.111 \) Ta có: \[ v^2 = v'^2 + r (v - v')^2 \] Khai triển: \[ v^2 = v'^2 + r (v^2 - 2 v v' + v'^2) = v'^2 + r v^2 - 2 r v v' + r v'^2 \] Chuyển các hạng tử về một phía: \[ v^2 - r v^2 = v'^2 + r v'^2 - 2 r v v' \] \[ v^2 (1 - r) = v'^2 (1 + r) - 2 r v v' \] Đây là một phương trình bậc hai đối với \( v' \): \[ (1 + r) v'^2 - 2 r v v' - (1 - r) v^2 = 0 \] Thay số: \[ (1 + 0.111) v'^2 - 2 \times 0.111 \times v \times v' - (1 - 0.111) v^2 = 0 \] \[ 1.111 v'^2 - 0.222 v v' - 0.889 v^2 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai: \[ a = 1.111, \quad b = -0.222 v, \quad c = -0.889 v^2 \] Phương trình: \[ a v'^2 + b v' + c = 0 \] \[ v' = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} = \frac{0.222 v \pm \sqrt{(0.222 v)^2 + 4 \times 1.111 \times 0.889 v^2}}{2 \times 1.111} \] Tính discriminant: \[ \Delta = (0.222)^2 v^2 + 4 \times 1.111 \times 0.889 v^2 = v^2 \left(0.0493 + 3.953\right) = v^2 \times 4.0023 \] \[ \sqrt{\Delta} = v \times 2.0006 \approx 2 v \] Chọn nghiệm nhỏ hơn để vật giảm tốc sau va chạm (vì va chạm mềm): \[ v' = \frac{0.222 v - 2 v}{2.222} = \frac{-1.778 v}{2.222} = -0.8 v \] Vận tốc tấm điện môi: \[ V = \frac{m}{M} (v - v') = 0.111 (v - (-0.8 v)) = 0.111 \times 1.8 v = 0.2 v \] Thay \( v = 50 m/s \): \[ V = 0.2 \times 50 = 10 m/s \] --- **Kết luận câu 1:** Vận tốc tấm điện môi ngay sau va chạm là **10 m/s**. --- **2. Tìm vận tốc ban đầu nhỏ nhất của vật để nó có thể đánh bật tấm điện môi ra khỏi tụ điện.** --- **Bước 1:** Tính lực điện hút tấm điện môi. Lực điện hút có thể được tính từ công năng của tụ điện. Năng lượng điện trường của tụ điện là: \[ W = \frac{1}{2} C U^2 \] Khi tấm điện môi nằm trong tụ, điện dung tăng lên, làm tăng năng lượng dự trữ. Lực điện hút được tính bằng đạo hàm của năng lượng theo vị trí của tấm điện môi (giả sử tấm điện môi có thể di chuyển dọc theo chiều dày tụ). Tuy nhiên, do đề bài không cho kích thước tấm điện môi, ta dùng cách tính lực điện dựa vào điện dung và hiệu điện thế: \[ F = \frac{1}{2} \frac{dC}{dx} U^2 \] Điện dung thay đổi theo vị trí \( x \) của tấm điện môi trong tụ, và lực điện hút tấm điện môi về phía bên trong có giá trị khoảng: \[ F = \frac{\varepsilon_0 S}{2 d^2} (\varepsilon - 1) U^2 \] Nhưng ta không có diện tích \(S\) và khoảng cách \(d\), do đó ta sẽ suy luận qua động lực học. --- **Bước 2:** Xét chuyển động tấm điện môi dưới lực điện. Khi tấm điện môi muốn rời khỏi tụ thì vận tốc ban đầu phải đủ lớn để tấm điện môi chuyển động tới biên tụ. Định luật II Newton cho tấm điện môi: \[ M \frac{dV}{dt} = F - M g \sin \theta \] Ở đây, không có ma sát và tấm điện môi trượt ngang nên ta chỉ xét lực điện hút. Lực điện hút kéo tấm điện môi vào trong tụ, nếu vật nhỏ truyền động năng cho tấm điện môi lớn hơn công để kéo tấm điện môi ra khỏi lực điện hút thì tấm điện môi sẽ rời khỏi tụ. --- **Bước 3:** Tính công của lực điện hút. Công để kéo tấm điện môi ra khỏi tụ là: \[ A = F \cdot d \] Năng lượng động của tấm điện môi sau va chạm là: \[ E_k = \frac{1}{2} M V^2 \] Để tấm điện môi rời khỏi tụ thì: \[ E_k \geq A \] \[ \frac{1}{2} M V^2 \geq F d \] --- **Bước 4:** Tính vận tốc \( V \) tối thiểu để tấm điện môi rời tụ. Do ta không có số liệu về lực điện và khoảng cách nên ta chỉ biểu diễn vận tốc tối thiểu \( V_{\min} \): \[ V_{\min} = \sqrt{\frac{2 F d}{M}} \] --- **Bước 5:** Từ bước 1, ta có vận tốc tấm điện môi sau va chạm liên quan đến vận tốc ban đầu của vật nhỏ: \[ V = \frac{2 m}{m + M} v \] (Lấy công thức va chạm mềm hai vật) Như tính toán trên: \[ V = \frac{2 m}{m + M} v \] Thay số: \[ V = \frac{2 \times 0.01}{0.01 + 0.09} v = \frac{0.02}{0.1} v = 0.2 v \] --- **Bước 6:** Yêu cầu vận tốc tấm điện môi sau va chạm lớn hơn hoặc bằng \( V_{\min} \): \[ 0.2 v \geq V_{\min} = \sqrt{\frac{2 F d}{M}} \implies v \geq \frac{V_{\min}}{0.2} = 5 V_{\min} \] --- **Kết luận câu 2:** Để tính vận tốc nhỏ nhất \( v \) của vật nhỏ, ta cần biết lực điện \( F \) và khoảng cách \( d \) để tính \( V_{\min} \). Nếu đề bài không cho các số liệu này thì ta chỉ có thể kết luận: \[ \boxed{ v_{\min} = 5 \sqrt{\frac{2 F d}{M}} } \] --- **Tóm lại:** 1. Vận tốc của tấm điện môi sau va chạm là \( V = 10 m/s \). 2. Vận tốc ban đầu nhỏ nhất của vật để đánh bật tấm điện môi ra khỏi tụ là \[ v_{\min} = 5 \sqrt{\frac{2 F d}{M}} \] với \( F \) là lực điện hút tấm điện môi và \( d \) là chiều dày tụ điện. --- Nếu có số liệu về kích thước tụ hoặc diện tích tấm điện môi thì có thể tính được lực điện và vận tốc tối thiểu chính xác hơn.