Cho ∆ABC nhọn có AB < AC. Lấy điểm M trên cạnh AC(M khác A và C), từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N, từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P. a) Chứng minh tứ giác MNBP là hìn...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác MNBP là hình bình hành Để chứng minh tứ giác MNBP là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Chứng minh MN // BP: - Theo giả thiết, từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N, do đó MN // BC. - Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P, do đó MP // AB. - Vì MN // BC và MP // AB, mà BC // AB (vì cùng là cạnh của tam giác ABC), suy ra MN // BP. 2. Chứng minh MP // NB: - Tương tự như trên, từ giả thiết MP // AB và MN // BC, mà AB // BC, suy ra MP // NB. Vì tứ giác MNBP có hai cặp cạnh đối song song, nên MNBP là hình bình hành. b) Chứng minh NH = PK 1. Xét tam giác MNB: - NH vuông góc với MB tại H. - PK vuông góc với MB tại K. 2. Chứng minh NH = PK: - Trong hình bình hành MNBP, ta có MN = BP và MP = NB. - Do NH và PK đều là đường cao từ N và P xuống MB, và MN = BP, MP = NB, nên NH = PK (vì hai tam giác vuông MNB và MPB có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau). c) Chứng minh G, O, I thẳng hàng 1. Kéo dài NH cắt BC tại I: - NH là đường vuông góc từ N đến MB, kéo dài cắt BC tại I. 2. Kéo dài PK cắt MN tại G: - PK là đường vuông góc từ P đến MB, kéo dài cắt MN tại G. 3. NP cắt HK tại O: - NP là đường chéo của hình bình hành MNBP, cắt HK tại O. 4. Chứng minh G, O, I thẳng hàng: - Do MNBP là hình bình hành, nên NP là đường chéo và HK là đường trung bình của hình bình hành. - Theo tính chất của hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O là trung điểm của NP và HK. - Vì NH và PK là các đường vuông góc từ N và P đến MB, nên HK là đường trung bình của hình bình hành. - Do đó, G, O, I thẳng hàng theo định lý đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện trong hình bình hành. Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.