Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 15: (0,5 đ) Tìm GTNN của biểu thức: $A=9x^2+9y^2+16xy-2x+2y+5$

Question

Accepted Answer

Đề bài: Tìm GTNN của biểu thức: $$A=9x^2+9y^2+16xy-2x+2y+5$$

Trình bày:

$$A=9x^2+9y^2+16xy-2x+2y+5$$

$$=\left(9x^2+16xy+\frac{64}{9}y^2 ight)+\frac{17}{9}y^2-2x+2y+5$$

$$=\left(3x+\frac{8}{3}y ight)^2+\frac{17}{9}y^2-2x+2y+5$$

$$=\left(3x+\frac{8}{3}y ight)^2-2.\left(3x+\frac{8}{3}y ight).\frac{1}{3}+\frac{34}{9}y+\frac{17}{9}y^2+5$$

$$=\left(3x+\frac{8}{3}y ight)^2-2.\left(3x+\frac{8}{3}y ight).\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3} ight)^2+\frac{17}{9}y^2+\frac{34}{9}y+\frac{44}{9}$$

$$=\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2+\frac{17}{9}\left(y^2+2y ight)+\frac{44}{9}$$

$$=\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2+\frac{17}{9}\left(y^2+2y+1 ight)+3$$

$$=\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2+\frac{17}{9}\left(y+1^{} ight)^2+3$$

Với mọi số thực x, y ta luôn có:

$$\begin{cases}\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2\ge0 \ \left(y+1 ight)^2\ge0\end{cases}$$

$$\Rightarrow\begin{cases}\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2\ge0 \ \frac{17}{9}\left(y+1 ight)^2\ge0\end{cases}$$

$$\Rightarrow\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2+\frac{17}{9}\left(y+1 ight)^2\ge0$$

$$\Rightarrow A=\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2+\frac{17}{9}\left(y+1 ight)^2+3\ge3$$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

$$\begin{cases}\left(3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3} ight)^2=0 \ \left(y+1 ight)^2=0\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}3x+\frac{8}{3}y-\frac{1}{3}=0 \ y+1=0\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}3x+\frac{8}{3}\left(-1 ight)-\frac{1}{3}=0 \ y=-1\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}3x-3=0 \ y=-1\end{cases}$$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}x=1 \ y=-1\end{cases}$$

Vậy GTNN của biểu thức A là: 3 xảy ra tại x=1 và y=-1

Mình gửi bạn lời giải của mình nhé, bạn tham khảo. Chúc bạn học tốt ạ.