5 Vẽ hình và kí hiệu nhé

Để chứng minh các đẳng thức liên quan đến tam giác ABC, ta cần sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của tam giác. a) Chứng minh \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C\) Bước 1: Sử dụng công thức tổng ba góc trong tam giác. Trong tam giác ABC, ta có: \[ A + B + C = 180^\circ \] Bước 2: Sử dụng công thức \(\tan(A + B + C) = \tan 180^\circ = 0\). Ta có: \[ \tan(A + B + C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)} = 0 \] Vì \(\tan 180^\circ = 0\), nên tử số của phân thức trên phải bằng 0: \[ \tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C = 0 \] Do đó, ta có: \[ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \] b) Chứng minh \(\tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} + \tan\frac{C}{2} \cdot \tan\frac{A}{2} = 1\) Bước 1: Sử dụng công thức \(\tan\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\), \(\tan\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}\), \(\tan\frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\), trong đó \(s\) là nửa chu vi tam giác: \(s = \frac{a+b+c}{2}\). Bước 2: Tính tích \(\tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} + \tan\frac{C}{2} \cdot \tan\frac{A}{2}\). Ta có: \[ \tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{(s-c)}{s} \] Tương tự: \[ \tan\frac{B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} = \frac{(s-a)}{s}, \quad \tan\frac{C}{2} \cdot \tan\frac{A}{2} = \frac{(s-b)}{s} \] Cộng các tích lại, ta có: \[ \tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} + \tan\frac{C}{2} \cdot \tan\frac{A}{2} = \frac{(s-c) + (s-a) + (s-b)}{s} = \frac{3s - (a+b+c)}{s} = 1 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} + \tan\frac{C}{2} \cdot \tan\frac{A}{2} = 1 \]