Giải hộ mình câu này với các bạn

Ví dụ 1: Để chứng minh bất đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 10\) với điều kiện \(a, b, c \geq 0\) và \(a + b + c = abc\), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \((a^2, \frac{1}{a^2})\), \((b^2, \frac{1}{b^2})\), \((c^2, \frac{1}{c^2})\): \[a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2,\] \[b^2 + \frac{1}{b^2} \geq 2,\] \[c^2 + \frac{1}{c^2} \geq 2.\] Bước 2: Cộng các bất đẳng thức trên lại với nhau: \[a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 6.\] Bước 3: Ta cần chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 10\). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng điều kiện \(a + b + c = abc\). Bước 4: Ta biết rằng \(a, b, c \geq 0\) và \(a + b + c = abc\). Giả sử \(a = b = c\), ta có: \[3a = a^3 \Rightarrow a^3 - 3a = 0 \Rightarrow a(a^2 - 3) = 0.\] Vì \(a \geq 0\), ta có \(a = 0\) hoặc \(a = \sqrt{3}\). Vì \(a, b, c \geq 0\), ta chọn \(a = b = c = \sqrt{3}\). Bước 5: Thay \(a = b = c = \sqrt{3}\) vào bất đẳng thức: \[a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 3(\sqrt{3})^2 + 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \cdot 3 + 3 \cdot \frac{1}{3} = 9 + 1 = 10.\] Vậy, bất đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 10\) đúng với mọi \(a, b, c \geq 0\) và \(a + b + c = abc\). Đáp án cuối cùng: \[a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 10.\]