Giúp mình với! $a)~(\sqrt{\frac83}-\sqrt{24}+\sqrt{\frac{50}3}).\sqrt6$,$c)~\frac2{\sqrt5-2}$,$e)~\frac{4-\sqrt{12}}{2-\sqrt3}$,$g)~\frac1{\sqrt3-\sqrt2}+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}$

Question

Accepted Answer

$a)$ $(\sqrt{\frac{8}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{\frac{50}{3}}) \cdot \sqrt{6}$

Đầu tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng phần trong ngoặc trước:
$$\sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$
$$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$$
$$\sqrt{\frac{50}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$$

Bây giờ, ta thay các giá trị này vào biểu thức ban đầu:
$$\left( \frac{2\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6} + \frac{5\sqrt{6}}{3} \right) \cdot \sqrt{6}$$

Ta sẽ cộng các hạng tử có cùng $\sqrt{6}$:
$$\left( \frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{5\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6} \right) \cdot \sqrt{6}$$
$$= \left( \frac{7\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6} \right) \cdot \sqrt{6}$$
$$= \left( \frac{7\sqrt{6}}{3} - \frac{6\sqrt{6}}{3} \right) \cdot \sqrt{6}$$
$$= \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \cdot \sqrt{6}$$
$$= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{3}$$
$$= \frac{6}{3}$$
$$= 2$$

Vậy, giá trị của biểu thức là $2$.

$c)$ $\frac{2}{\sqrt{5} - 2}$

Để đơn giản hóa phân số này, ta nhân cả tử số và mẫu số với $\sqrt{5} + 2$:
$$\frac{2}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2}$$
$$= \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}$$
$$= \frac{2\sqrt{5} + 4}{5 - 4}$$
$$= \frac{2\sqrt{5} + 4}{1}$$
$$= 2\sqrt{5} + 4$$

Vậy, giá trị của biểu thức là $2\sqrt{5} + 4$.

$e)$ $\frac{4 - \sqrt{12}}{2 - \sqrt{3}}$

Đầu tiên, ta đơn giản hóa $\sqrt{12}$:
$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$

Thay giá trị này vào biểu thức:
$$\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$$

Để đơn giản hóa phân số này, ta nhân cả tử số và mẫu số với $2 + \sqrt{3}$:
$$\frac{(4 - 2\sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$$
$$= \frac{4 \cdot 2 + 4 \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 2 - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4 - 3}$$
$$= \frac{8 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 6}{1}$$
$$= \frac{2}{1}$$
$$= 2$$

Vậy, giá trị của biểu thức là $2$.

$g)$ $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

Để đơn giản hóa các phân số này, ta nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số với mẫu số liên hợp:
$$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$
$$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$$
$$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$$
$$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$$
$$= \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$$
$$= 2\sqrt{3}$$

Vậy, giá trị của biểu thức là $2\sqrt{3}$.