Giá trị cực đại của hàm số:
$y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 3}$ là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 3} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Hàm số $ y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 3} $ là một hàm phân thức. Để tìm đạo hàm, chúng ta sử dụng quy tắc thương số:
   $$
   y&#x27; = \frac{(x+3)(2x+2) - (x^2+2x+2)(1)}{(x+3)^2}
   $$
   Đơn giản hóa tử số:
   $$
   y&#x27; = \frac{(x+3)(2x+2) - (x^2+2x+2)}{(x+3)^2}
   $$
   $$
   y&#x27; = \frac{2x^2 + 2x + 6x + 6 - x^2 - 2x - 2}{(x+3)^2}
   $$
   $$
   y&#x27; = \frac{x^2 + 6x + 4}{(x+3)^2}
   $$

2. Tìm điểm tới hạn:
   Để tìm điểm tới hạn, chúng ta đặt đạo hàm bằng 0:
   $$
   y&#x27; = 0 \implies \frac{x^2 + 6x + 4}{(x+3)^2} = 0
   $$
   Tử số phải bằng 0:
   $$
   x^2 + 6x + 4 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}
   $$
   Vậy, các điểm tới hạn là:
   $$
   x_1 = -3 + \sqrt{5}, \quad x_2 = -3 - \sqrt{5}
   $$

3. Kiểm tra dấu của đạo hàm:
   Chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính chất của các điểm tới hạn. Ta sẽ chọn các khoảng lân cận của $ x_1 $ và $ x_2 $.

- Khoảng $ (-\infty, -3 - \sqrt{5}) $:
     Chọn $ x = -5 $:
     $$
     y&#x27; = \frac{(-5)^2 + 6(-5) + 4}{(-5+3)^2} = \frac{25 - 30 + 4}{4} = \frac{-1}{4} < 0
     $$

- Khoảng $ (-3 - \sqrt{5}, -3 + \sqrt{5}) $:
     Chọn $ x = -4 $:
     $$
     y&#x27; = \frac{(-4)^2 + 6(-4) + 4}{(-4+3)^2} = \frac{16 - 24 + 4}{1} = \frac{-4}{1} < 0
     $$

- Khoảng $ (-3 + \sqrt{5}, \infty) $:
     Chọn $ x = 0 $:
     $$
     y&#x27; = \frac{(0)^2 + 6(0) + 4}{(0+3)^2} = \frac{4}{9} > 0
     $$

Từ đó, ta thấy rằng đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $ x = -3 + \sqrt{5} $. Điều này cho thấy $ x = -3 + \sqrt{5} $ là điểm cực tiểu.

4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu:
   Thay $ x = -3 + \sqrt{5} $ vào hàm số:
   $$
   y = \frac{(-3 + \sqrt{5})^2 + 2(-3 + \sqrt{5}) + 2}{-3 + \sqrt{5} + 3}
   $$
   $$
   y = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5 - 6 + 2\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5}}
   $$
   $$
   y = \frac{10 - 4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} - \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} - 4
   $$

Vậy, giá trị cực đại của hàm số $ y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 3} $ là $ 2\sqrt{5} - 4 $.

Giá trị cực đại của hàm số: $y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 3}$ là bao nhiêu?