giai giup minh dap an cau d loi giai chi tiet

Bài 1.29: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến ba điểm \( A(3;5;-1) \), \( B(7;x;1) \), \( C(9;2;y) \), chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng câu: A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng thì \( x+y=5 \). Ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng khi và chỉ khi các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (7-3, x-5, 1+1) = (4, x-5, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = (9-3, 2-5, y+1) = (6, -3, y+1) \] Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương khi: \[ \frac{4}{6} = \frac{x-5}{-3} = \frac{2}{y+1} \] Giải hệ phương trình: 1. \(\frac{4}{6} = \frac{x-5}{-3} \Rightarrow 4(-3) = 6(x-5) \Rightarrow -12 = 6x - 30 \Rightarrow 6x = 18 \Rightarrow x = 3\) 2. \(\frac{4}{6} = \frac{2}{y+1} \Rightarrow 4(y+1) = 12 \Rightarrow 4y + 4 = 12 \Rightarrow 4y = 8 \Rightarrow y = 2\) Vậy \( x = 3 \) và \( y = 2 \), do đó \( x + y = 5 \). Câu A đúng. B. Điểm \( G\left(\frac{19}{3};\frac{8}{3};3\right) \) là trọng tâm tam giác ABC thì \( x=1;y=3 \). Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Thay tọa độ các điểm vào: \[ \frac{3 + 7 + 9}{3} = \frac{19}{3}, \quad \frac{5 + x + 2}{3} = \frac{8}{3}, \quad \frac{-1 + 1 + y}{3} = 3 \] Giải các phương trình: 1. \(\frac{19}{3} = \frac{19}{3}\) (đúng) 2. \(\frac{5 + x + 2}{3} = \frac{8}{3} \Rightarrow 5 + x + 2 = 8 \Rightarrow x = 1\) 3. \(\frac{-1 + 1 + y}{3} = 3 \Rightarrow y = 3\) Vậy \( x = 1 \) và \( y = 3 \). Câu B đúng. C. Tam giác ABC vuông tại A thì \( x=13,~y=-1 \). Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) khi \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\). Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} = (4, x-5, 2), \quad \overrightarrow{AC} = (6, -3, y+1) \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 6 + (x-5)(-3) + 2(y+1) = 0 \] \[ 24 - 3(x-5) + 2(y+1) = 0 \] \[ 24 - 3x + 15 + 2y + 2 = 0 \] \[ -3x + 2y + 41 = 0 \] Giải phương trình: \[ -3x + 2y + 41 = 0 \Rightarrow 3x = 2y + 41 \] Thay \( x = 13 \) và \( y = -1 \) vào: \[ 3(13) = 2(-1) + 41 \Rightarrow 39 = -2 + 41 \Rightarrow 39 = 39 \] Vậy \( x = 13 \) và \( y = -1 \). Câu C đúng. D. Tích vô hướng của \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3x + 2y + 41\). Từ phần tính toán ở câu C, ta đã có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3x + 2y + 41 \] Câu D đúng. Kết luận: Cả bốn câu A, B, C, D đều đúng.