Giúp mình với!

Bài 4: a) Ta có \(x(y+1)-y-2=0\) \(x(y+1)-y-1-1=0\) \(x(y+1)-(y+1)-1=0\) \((x-1)(y+1)=1\) Ta có \(x\) và \(y\) là các số nguyên nên \(x-1\) và \(y+1\) cũng là các số nguyên. Mà \(1\) có các ước số nguyên là \(-1\) và \(1\) Do đó ta có các trường hợp sau: \(x-1=-1\) và \(y+1=-1\) \(x-1=1\) và \(y+1=1\) Giải các trường hợp trên ta tìm được các cặp số nguyên \((x,y)\) là \((0; -2)\) và \((2; 0)\) b) Ta có \(x(x-2)-(2-x)y-2(x-2)=2\) \(x(x-2)+(x-2)y-2(x-2)=2\) \((x-2)(x+y-2)=2\) Ta có \(x\) và \(y\) là các số nguyên nên \(x-2\) và \(x+y-2\) cũng là các số nguyên. Mà \(2\) có các ước số nguyên là \(-1; -2; 1; 2\) Do đó ta có các trường hợp sau: \(x-2=-1\) và \(x+y-2=-2\) \(x-2=1\) và \(x+y-2=2\) \(x-2=-2\) và \(x+y-2=1\) \(x-2=2\) và \(x+y-2=-1\) Giải các trường hợp trên ta tìm được các cặp số nguyên \((x,y)\) là \((1; -1); (3; 3); (0; 3); (4; -1)\) Bài 5: a) Ta có \(n^2(n+1)+2n(n+1)=n(n+1)(n+2)\) Vì \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(n(n+1)\) chia hết cho 2. Một trong ba số tự nhiên liên tiếp \(n,\) \(n+1,\) \(n+2\) luôn tồn tại một số chia hết cho 3. Do đó \(n(n+1)(n+2)\) chia hết cho 6. Vậy \(n^2(n+1)+2n(n+1)\) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên \(n.\) b) Ta có \(55^{n+1}-55^n=55^n(55-1)=55^n\times 54\) Vì \(54\) chia hết cho \(54\) nên \(55^n\times 54\) chia hết cho \(54\) Vậy \(55^{n+1}-55^n\) chia hết cho \(54\) với mọi số tự nhiên \(n.\) c) Ta có \(7^{1996}+7^{1995}-7^{1994}=7^{1994}(7^2+7-1)=7^{1994}\times 55\) Vì \(55\) chia hết cho \(55\) nên \(7^{1994}\times 55\) chia hết cho \(55\) Vậy \(7^{1996}+7^{1995}-7^{1994}\) chia hết cho \(55\) d) Ta có \(5^{100}+5^{98}=5^{98}(5^2+1)=5^{98}\times 26\) Vì \(26\) chia hết cho \(13\) nên \(5^{98}\times 26\) chia hết cho \(13\) Vậy \(5^{100}+5^{98}\) chia hết cho \(13\) Bài 6: Ta có: \[ A = 3x^2 + y^2 + 2xy - 16x - 4y + 32 \] Nhóm các hạng tử để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất: \[ A = (3x^2 + 2xy + y^2) - 16x - 4y + 32 \] Viết lại biểu thức dưới dạng tổng của các bình phương: \[ A = (x^2 + 2xy + y^2) + 2x^2 - 16x - 4y + 32 \] \[ A = (x + y)^2 + 2x^2 - 16x - 4y + 32 \] Bây giờ ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này bằng cách hoàn chỉnh bình phương: \[ A = (x + y)^2 + 2(x^2 - 8x) - 4y + 32 \] Hoàn chỉnh bình phương cho \( x^2 - 8x \): \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] Thay vào biểu thức: \[ A = (x + y)^2 + 2((x - 4)^2 - 16) - 4y + 32 \] \[ A = (x + y)^2 + 2(x - 4)^2 - 32 - 4y + 32 \] \[ A = (x + y)^2 + 2(x - 4)^2 - 4y \] Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \): \[ A = (x + y)^2 + 2(x - 4)^2 - 4(y - 1) - 4 \] Cuối cùng, ta có: \[ A = (x + y)^2 + 2(x - 4)^2 - 4(y - 1) - 4 \] Biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất khi tất cả các bình phương đều bằng 0: \[ (x + y)^2 = 0 \] \[ 2(x - 4)^2 = 0 \] \[ -4(y - 1) = 0 \] Giải các phương trình này: \[ x + y = 0 \] \[ x - 4 = 0 \] \[ y - 1 = 0 \] Từ đó: \[ x = 4 \] \[ y = 1 \] Thay \( x = 4 \) và \( y = 1 \) vào biểu thức ban đầu: \[ A = 3(4)^2 + (1)^2 + 2(4)(1) - 16(4) - 4(1) + 32 \] \[ A = 3(16) + 1 + 8 - 64 - 4 + 32 \] \[ A = 48 + 1 + 8 - 64 - 4 + 32 \] \[ A = 21 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 21, đạt được khi \( x = 4 \) và \( y = 1 \).