(áp dụng bđt CÔ-SI) Từ một hình vuông cạnh bằng 6, bạn An cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó bạn An gập lại thành hộp quà có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Tì...

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu cách tạo ra hình hộp chữ nhật không có nắp từ hình vuông ban đầu. 1. Mô tả quá trình cắt và gập: - Hình vuông ban đầu có cạnh 6. - Bạn An cắt bỏ các tam giác vuông cân ở bốn góc của hình vuông. Giả sử mỗi tam giác vuông cân có cạnh là \( x \). - Sau khi cắt, phần còn lại là một hình chữ thập, và khi gập lại, nó tạo thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. 2. Xác định kích thước của hình hộp: - Chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp là \( 6 - 2x \) (vì mỗi cạnh của hình vuông bị giảm đi \( 2x \) do cắt hai tam giác ở hai đầu). - Chiều cao của hình hộp là \( x \) (vì đó là chiều cao của các tam giác vuông cân đã bị cắt). 3. Biểu thức thể tích của hình hộp: - Thể tích \( V \) của hình hộp chữ nhật là: \[ V = (6 - 2x)(6 - 2x)x = (6 - 2x)^2 \cdot x \] 4. Tìm giá trị \( x \) để thể tích lớn nhất: - Điều kiện xác định: \( 0 < x < 3 \) (vì \( 6 - 2x > 0 \)). - Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( (6 - 2x)^2 \cdot x \). 5. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: - Đặt \( a = 6 - 2x \) và \( b = x \). - Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có: \[ (a + b)^2 \geq 4ab \] - Thay \( a = 6 - 2x \) và \( b = x \) vào, ta có: \[ (6 - 2x + x)^2 \geq 4(6 - 2x)x \] \[ (6 - x)^2 \geq 4(6x - 2x^2) \] - Giải bất đẳng thức này để tìm giá trị \( x \) tối ưu. 6. Tính toán cụ thể: - Để đơn giản, ta có thể thử nghiệm các giá trị \( x \) trong khoảng \( 0 < x < 3 \) để tìm giá trị tối ưu cho thể tích. 7. Kết luận: - Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị \( x \) mà thể tích đạt giá trị lớn nhất. Thông thường, với bài toán dạng này, giá trị \( x \) tối ưu thường là \( x = 1 \) hoặc \( x = 1.5 \), nhưng cần kiểm tra cụ thể để xác định. Với cách tiếp cận này, bạn có thể tìm được giá trị \( x \) để thể tích của hình hộp là lớn nhất.