Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nều tăng mỗi cạnh lên 3cm thi diện tích tam giác đó tăng thêm 36cm² và nếu một cạnh giảm đi 2cm cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của t...

Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \( x \) và \( y \) (đơn vị: cm, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Bước 1: Thiết lập phương trình từ điều kiện tăng mỗi cạnh lên 3 cm Khi tăng mỗi cạnh lên 3 cm, độ dài hai cạnh mới là \( x + 3 \) và \( y + 3 \). Diện tích mới của tam giác là: \[ \frac{1}{2} \times (x + 3) \times (y + 3) \] Diện tích ban đầu của tam giác là: \[ \frac{1}{2} \times x \times y \] Theo đề bài, diện tích tăng thêm 36 cm², do đó: \[ \frac{1}{2} \times (x + 3) \times (y + 3) - \frac{1}{2} \times x \times y = 36 \] Rút gọn phương trình: \[ \frac{1}{2} \times (xy + 3x + 3y + 9 - xy) = 36 \] \[ \frac{1}{2} \times (3x + 3y + 9) = 36 \] \[ 3x + 3y + 9 = 72 \] \[ 3x + 3y = 63 \] \[ x + y = 21 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Thiết lập phương trình từ điều kiện giảm một cạnh đi 2 cm và cạnh kia giảm đi 4 cm Khi giảm một cạnh đi 2 cm và cạnh kia giảm đi 4 cm, độ dài hai cạnh mới là \( x - 2 \) và \( y - 4 \). Diện tích mới của tam giác là: \[ \frac{1}{2} \times (x - 2) \times (y - 4) \] Theo đề bài, diện tích giảm đi 26 cm², do đó: \[ \frac{1}{2} \times x \times y - \frac{1}{2} \times (x - 2) \times (y - 4) = 26 \] Rút gọn phương trình: \[ \frac{1}{2} \times (xy - (x - 2)(y - 4)) = 26 \] \[ \frac{1}{2} \times (xy - (xy - 4x - 2y + 8)) = 26 \] \[ \frac{1}{2} \times (4x + 2y - 8) = 26 \] \[ 4x + 2y - 8 = 52 \] \[ 4x + 2y = 60 \] \[ 2x + y = 30 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 21 \\ 2x + y = 30 \end{cases} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (2x + y) - (x + y) = 30 - 21 \] \[ x = 9 \] Thay \( x = 9 \) vào phương trình (1): \[ 9 + y = 21 \] \[ y = 12 \] Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 9 cm và 12 cm.