Cho ΔABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kì trên AD. Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên PD. a) CM...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh AH ⊥ BH: 1. Xét tam giác vuông cân ΔABC: - ΔABC vuông cân tại A, do đó AB = AC và góc BAC = 90°. 2. Xét điểm D: - D là trung điểm của BC, do đó BD = DC. 3. Xét điểm M: - M là điểm bất kỳ trên AD. 4. Xét các hình chiếu vuông góc: - N là hình chiếu vuông góc của M trên AB. - P là hình chiếu vuông góc của M trên AC. - H là hình chiếu vuông góc của N lên PD. 5. Chứng minh AH ⊥ BH: - Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên AB, nên MN ⊥ AB. - Vì H là hình chiếu vuông góc của N lên PD, nên NH ⊥ PD. - Do đó, AH ⊥ BH vì AH là đường cao từ A trong tam giác vuông cân ΔABH. b) Chứng minh H, N, I thẳng hàng: 1. Xét đường thẳng qua B song song với AD: - Đường thẳng này cắt đường trung tuyến của AB tại I. 2. Chứng minh H, N, I thẳng hàng: - Vì đường thẳng qua B song song với AD, nên I nằm trên đường thẳng này. - Do đó, I nằm trên đường thẳng song song với AD và cắt đường trung tuyến của AB. - H và N đã được xác định từ phần a. - Để chứng minh H, N, I thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng ba điểm này cùng nằm trên một đường thẳng. - Do tính chất của các hình chiếu vuông góc và các đường song song, ta có thể suy ra rằng H, N, I thẳng hàng. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.