giải hộ em từ câu 1 đến câu 5 với ạ chương trình mới ạ

Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 4 \) Ta có: \[ P = \left( \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{7}{x - 4} \right) (\sqrt{x} - 1) \] Phân tích từng thành phần: \[ \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x} - 4 - \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} - 6}{x - 4} \] Do đó: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x} - 6}{x - 4} + \frac{7}{x - 4} \right) (\sqrt{x} - 1) = \left( \frac{\sqrt{x} - 6 + 7}{x - 4} \right) (\sqrt{x} - 1) = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4} \right) (\sqrt{x} - 1) \] Tiếp tục rút gọn: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{x - 4} = \frac{x - 1}{x - 4} \] Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{x - 1}{x - 4} \] Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 25 \) Ta có: \[ B = \left( \frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} \] Phân tích tử số của phân thức đầu tiên: \[ \frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} = \frac{15 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] Do đó: \[ \frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5} = \frac{15 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} + \frac{2(\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] Gộp các phân thức lại: \[ = \frac{15 - \sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 10}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} \] Tiếp theo, ta có: \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} \] Chia hai phân thức: \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} \cdot \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 1} \] \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Vậy, biểu thức rút gọn của \( B \) là: \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Bài 4.2: Để rút gọn biểu thức \( C = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \right) : \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \) với \( x > 0, x \ne 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt \( t = \sqrt{x} \). Khi đó \( x = t^2 \) và \( x > 0, x \ne 1 \) tương đương với \( t > 0, t \ne 1 \). Biểu thức \( C \) trở thành: \[ C = \left( \frac{t - 1}{t^2 - t} - \frac{t}{t^2 + t} \right) : \left( 1 - \frac{1}{t} \right) \] Bước 2: Rút gọn từng phân thức trong ngoặc đơn. \[ \frac{t - 1}{t^2 - t} = \frac{t - 1}{t(t - 1)} = \frac{1}{t} \] \[ \frac{t}{t^2 + t} = \frac{t}{t(t + 1)} = \frac{1}{t + 1} \] Do đó: \[ \frac{t - 1}{t^2 - t} - \frac{t}{t^2 + t} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \] Bước 3: Kết hợp các phân thức đã rút gọn. \[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} = \frac{(t + 1) - t}{t(t + 1)} = \frac{1}{t(t + 1)} \] Bước 4: Rút gọn phần còn lại của biểu thức. \[ 1 - \frac{1}{t} = \frac{t - 1}{t} \] Bước 5: Kết hợp tất cả các phần đã rút gọn. \[ C = \left( \frac{1}{t(t + 1)} \right) : \left( \frac{t - 1}{t} \right) = \frac{1}{t(t + 1)} \cdot \frac{t}{t - 1} = \frac{1}{(t + 1)(t - 1)} = \frac{1}{t^2 - 1} \] Bước 6: Thay \( t = \sqrt{x} \) trở lại. \[ C = \frac{1}{(\sqrt{x})^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} \] Vậy, biểu thức \( C \) đã được rút gọn thành: \[ C = \frac{1}{x - 1} \] Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq \frac{1}{4} \). Ta có: \[ Q = \left( \frac{1}{2\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{2\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{1}{1 - 4x} \] Trước hết, ta quy đồng mẫu số của hai phân số trong ngoặc đơn: \[ \frac{1}{2\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{2\sqrt{x} - 1} = \frac{(2\sqrt{x} - 1) + (2\sqrt{x} + 1)}{(2\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x} + 1}{(2\sqrt{x})^2 - 1^2} \] \[ = \frac{4\sqrt{x}}{4x - 1} \] Bây giờ, ta thực hiện phép chia: \[ Q = \frac{4\sqrt{x}}{4x - 1} : \frac{1}{1 - 4x} \] \[ = \frac{4\sqrt{x}}{4x - 1} \cdot \frac{1 - 4x}{1} \] \[ = \frac{4\sqrt{x}(1 - 4x)}{4x - 1} \] \[ = \frac{4\sqrt{x}(1 - 4x)}{-(1 - 4x)} \] \[ = -4\sqrt{x} \] Vậy, biểu thức rút gọn của \( Q \) là: \[ Q = -4\sqrt{x} \] Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 9 \). Ta có: \[ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3}{\sqrt{x} - 3} \right) : \frac{x + 9}{\sqrt{x} + 3}. \] Trước hết, ta sẽ rút gọn phần tử số của biểu thức bên trong ngoặc đơn: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3}{\sqrt{x} - 3}. \] Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số: \[ \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 3 (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}. \] Tử số của phân số trên là: \[ \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 3 (\sqrt{x} + 3) = x - 3\sqrt{x} + 3\sqrt{x} + 9 = x + 9. \] Mẫu số của phân số trên là: \[ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) = x - 9. \] Vậy ta có: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3}{\sqrt{x} - 3} = \frac{x + 9}{x - 9}. \] Bây giờ, ta sẽ chia biểu thức này cho \(\frac{x + 9}{\sqrt{x} + 3}\): \[ P = \frac{x + 9}{x - 9} : \frac{x + 9}{\sqrt{x} + 3}. \] Chia hai phân số tức là nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai: \[ P = \frac{x + 9}{x - 9} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{x + 9}. \] Rút gọn biểu thức: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9}. \] Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9}. \] Bài 4.2: Để rút gọn biểu thức \( P = \left( \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2x}{9 - x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right) \) với điều kiện \( x > 0, x \neq 9, x \neq 25 \): Bước 1: Xét tử số của \( P \): \[ \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2x}{9 - x} \] Ta có: \[ \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})}{(3 + \sqrt{x})(3 - \sqrt{x})} = \frac{3\sqrt{x} - x}{9 - x} \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2x}{9 - x} = \frac{3\sqrt{x} - x}{9 - x} + \frac{2x}{9 - x} = \frac{3\sqrt{x} - x + 2x}{9 - x} = \frac{3\sqrt{x} + x}{9 - x} \] Bước 2: Xét mẫu số của \( P \): \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \] Ta có: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{1 - \sqrt{x} - 2(3 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} = \frac{1 - \sqrt{x} - 6 + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} = \frac{-5 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} \] Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số để rút gọn \( P \): \[ P = \frac{\frac{3\sqrt{x} + x}{9 - x}}{\frac{-5 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})}} = \frac{(3\sqrt{x} + x) \cdot \sqrt{x}(3 - \sqrt{x})}{(9 - x)(-5 + \sqrt{x})} \] Ta có: \[ (3\sqrt{x} + x) \cdot \sqrt{x}(3 - \sqrt{x}) = \sqrt{x}(3\sqrt{x} + x)(3 - \sqrt{x}) = \sqrt{x}(9\sqrt{x} - 3x + 3x - x\sqrt{x}) = \sqrt{x}(9\sqrt{x} - x\sqrt{x}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}(9 - x) = x(9 - x) \] Do đó: \[ P = \frac{x(9 - x)}{(9 - x)(-5 + \sqrt{x})} = \frac{x}{-5 + \sqrt{x}} \] Cuối cùng: \[ P = \frac{x}{-5 + \sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x} - 5} \] Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{x}{\sqrt{x} - 5} \] Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 9 \). Biểu thức \( A \) được viết lại dưới dạng: \[ A = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{x}{3\sqrt{x} - x} \right) : \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9}. \] Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức trên. 1. Rút gọn \( \frac{x}{3\sqrt{x} - x} \): \[ \frac{x}{3\sqrt{x} - x} = \frac{x}{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}}. \] 2. Kết hợp với \( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \): \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{2\sqrt{x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}. \] 3. Rút gọn \( \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9} \): \[ \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9} = \frac{\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 3}. \] 4. Kết hợp tất cả các phần đã rút gọn: \[ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \right) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \cdot (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x}. \] Vậy, biểu thức \( A \) được rút gọn thành: \[ A = \sqrt{x}. \] Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \) Ta có: \[ A = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} - 2x + \sqrt{x}} \] Phân tích tử số của biểu thức đầu tiên: \[ \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] \[ = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \] Phân tích mẫu số của biểu thức thứ hai: \[ x\sqrt{x} - 2x + \sqrt{x} = \sqrt{x}(x - 2\sqrt{x} + 1) \] \[ = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2 \] Do đó, ta có: \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2} \] \[ = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x} + 1} \] \[ = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{(\sqrt{x} - 1)}{1} \] \[ = \sqrt{x} - 1 \] Vậy, biểu thức rút gọn của \( A \) là: \[ A = \sqrt{x} - 1 \] Bài 4.2: Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 9 \) Ta có: \[ P = \left( \frac{1}{3 + \sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{9 - x} \right) : \frac{2\sqrt{x} + 1}{6 - \sqrt{4x}} \] Đầu tiên, ta rút gọn phần tử số của biểu thức \( P \): \[ \frac{1}{3 + \sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{9 - x} \] Biến đổi \( 9 - x \) thành \( (3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x}) \): \[ \frac{1}{3 + \sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ \frac{1}{3 + \sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} = \frac{(3 - \sqrt{x}) + (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Rút gọn tử số: \[ (3 - \sqrt{x}) + (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6) = 3 - \sqrt{x} + x + 6\sqrt{x} + \sqrt{x} + 6 = x + 6\sqrt{x} + 9 \] Do đó: \[ \frac{1}{3 + \sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Tiếp theo, ta rút gọn phần mẫu số của biểu thức \( P \): \[ \frac{2\sqrt{x} + 1}{6 - \sqrt{4x}} \] Biến đổi \( 6 - \sqrt{4x} \) thành \( 6 - 2\sqrt{x} \): \[ \frac{2\sqrt{x} + 1}{6 - 2\sqrt{x}} \] Cuối cùng, ta kết hợp lại để rút gọn toàn bộ biểu thức \( P \): \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} : \frac{2\sqrt{x} + 1}{6 - 2\sqrt{x}} \] Biến đổi \( 6 - 2\sqrt{x} \) thành \( 2(3 - \sqrt{x}) \): \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} : \frac{2\sqrt{x} + 1}{2(3 - \sqrt{x})} \] Rút gọn: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \cdot \frac{2(3 - \sqrt{x})}{2\sqrt{x} + 1} \] Hủy bỏ \( (3 - \sqrt{x}) \) ở tử số và mẫu số: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} \] Rút gọn tiếp: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} \] Cuối cùng, ta có: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2\sqrt{x} + 1} \] Vậy, biểu thức \( P \) đã được rút gọn hoàn chỉnh. Bài 4.2: Để rút gọn biểu thức \( P = \left( \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} + \frac{8x}{4-x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right) \) với \( x > 0; x \ne 4; x \ne 9 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn phần tử số của \( P \): \[ \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} + \frac{8x}{4-x} \] Ta có: \[ \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} = \frac{4\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})} = \frac{4\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{4-x} \] Do đó: \[ \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} + \frac{8x}{4-x} = \frac{4\sqrt{x}(2-\sqrt{x}) + 8x}{4-x} = \frac{8\sqrt{x} - 4x + 8x}{4-x} = \frac{8\sqrt{x} + 4x}{4-x} \] 2. Rút gọn phần mẫu số của \( P \): \[ \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \] Ta có: \[ \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \] Và: \[ \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1 - 2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} = \frac{\sqrt{x}-1 - 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} = \frac{-\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \] 3. Kết hợp các phần đã rút gọn: \[ P = \frac{\frac{8\sqrt{x} + 4x}{4-x}}{\frac{-\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}} = \frac{(8\sqrt{x} + 4x) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(4-x)(-\sqrt{x} + 3)} \] Ta có: \[ 8\sqrt{x} + 4x = 4\sqrt{x}(2 + \sqrt{x}) \] Do đó: \[ P = \frac{4\sqrt{x}(2 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(4-x)(-\sqrt{x} + 3)} = \frac{4x(2 + \sqrt{x})(\sqrt{x}-2)}{(4-x)(-\sqrt{x} + 3)} \] Ta có: \[ (2 + \sqrt{x})(\sqrt{x}-2) = x - 4 \] Do đó: \[ P = \frac{4x(x-4)}{(4-x)(-\sqrt{x} + 3)} = \frac{-4x(x-4)}{(x-4)(-\sqrt{x} + 3)} = \frac{-4x}{-\sqrt{x} + 3} = \frac{4x}{\sqrt{x} - 3} \] 4. Kết luận: \[ P = \frac{4x}{\sqrt{x} - 3} \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{\frac{4x}{\sqrt{x} - 3}} \]