(áp dụng bđt AM-GM) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đâ...

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hộp không nắp là lớn nhất. 1. Xác định kích thước của hộp: - Tấm nhôm ban đầu là hình vuông có cạnh 18 cm. - Sau khi cắt bốn hình vuông ở bốn góc, mỗi hình vuông có cạnh \( x \) cm, kích thước của phần còn lại sẽ là: - Chiều dài: \( 18 - 2x \) cm - Chiều rộng: \( 18 - 2x \) cm - Chiều cao của hộp: \( x \) cm 2. Biểu thức thể tích của hộp: Thể tích \( V \) của hộp không nắp được tính bằng: \[ V = (18 - 2x)(18 - 2x)x = x(18 - 2x)^2 \] 3. Tìm điều kiện xác định: - Để các kích thước của hộp có nghĩa, ta cần: - \( 18 - 2x > 0 \) (chiều dài và chiều rộng dương) - \( x > 0 \) (chiều cao dương) Từ \( 18 - 2x > 0 \), ta có \( x < 9 \). Vậy điều kiện xác định là: \( 0 < x < 9 \). 4. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất của \( V = x(18 - 2x)^2 \). Đặt \( a = 18 - 2x \), khi đó \( V = x \cdot a^2 \). Ta có: \[ a = 18 - 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{18 - a}{2} \] Thay vào biểu thức thể tích: \[ V = \left(\frac{18 - a}{2}\right) \cdot a^2 = \frac{a^2(18 - a)}{2} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta cần tìm giá trị của \( a \) sao cho \( a^2(18 - a) \) lớn nhất. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \( a, a, 18-a \): \[ \frac{a + a + (18-a)}{3} \geq \sqrt[3]{a^2(18-a)} \] \[ \frac{18}{3} \geq \sqrt[3]{a^2(18-a)} \] \[ 6 \geq \sqrt[3]{a^2(18-a)} \] \[ 6^3 \geq a^2(18-a) \] \[ 216 \geq a^2(18-a) \] Dấu "=" xảy ra khi \( a = a = 18-a \), tức là \( a = 6 \). Khi \( a = 6 \), ta có: \[ x = \frac{18 - a}{2} = \frac{18 - 6}{2} = 6 \] Vậy giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi \( x = 3 \). 5. Kết luận: Giá trị của \( x \) để hộp có thể tích lớn nhất là \( x = 3 \) cm.