Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 3: Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, ta cần tìm tâm và bán kính của mặt cầu này. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ có tâm là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp. Bước 1: Tìm tọa độ các điểm Giả sử đáy ABCD nằm trong mặt phẳng \(Oxy\) với: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) Vì \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\), nên tọa độ điểm \(S\) là \(S(0, 0, a)\). Bước 2: Tìm tâm mặt cầu Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm \(O\) cách đều các đỉnh \(A, B, C, D, S\). Do đó, \(O\) phải nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và đi qua trung điểm của đường chéo của hình vuông ABCD. Trung điểm của đường chéo \(AC\) là: \[ M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] Vì \(O\) nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và đi qua \(M\), nên tọa độ của \(O\) có dạng: \[ O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, z\right) \] Bước 3: Tính bán kính mặt cầu Bán kính \(R\) của mặt cầu là khoảng cách từ \(O\) đến một trong các đỉnh, ví dụ \(A\): \[ OA = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (z - 0)^2} \] Tương tự, khoảng cách từ \(O\) đến \(S\) là: \[ OS = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (z - a)^2} \] Vì \(OA = OS\), ta có: \[ \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + z^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (z - a)^2} \] Bình phương hai vế và giải phương trình: \[ \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z^2 - 2az + a^2 \] Rút gọn: \[ 0 = -2az + a^2 \] Giải ra: \[ z = \frac{a}{2} \] Vậy tọa độ của \(O\) là: \[ O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Bước 4: Tính bán kính \(R\) Bán kính \(R\) là khoảng cách từ \(O\) đến \(A\): \[ R = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).