Biểu diễn hình học của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ và tính diện tích miền nghiệm

Để biểu diễn hình học của hệ bất phương trình và tính diện tích miền nghiệm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu diễn từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ 1. Bất phương trình thứ nhất: \(-x + y + 2 < 0\) Ta chuyển đổi bất phương trình thành phương trình đường thẳng: \[ -x + y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = x - 2 \] Đây là đường thẳng có hệ số góc \(1\) và cắt trục tung tại điểm \((0, -2)\). 2. Bất phương trình thứ hai: \(2x - y - 4 < 0\) Ta chuyển đổi bất phương trình thành phương trình đường thẳng: \[ 2x - y - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 4 \] Đây là đường thẳng có hệ số góc \(2\) và cắt trục tung tại điểm \((0, -4)\). 3. Bất phương trình thứ ba: \(y + 2 > 0\) Ta chuyển đổi bất phương trình thành phương trình đường thẳng: \[ y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \] Đây là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm \((0, -2)\). Bước 2: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình 1. Miền nghiệm của \(-x + y + 2 < 0\): Miền nghiệm là phía dưới của đường thẳng \(y = x - 2\). 2. Miền nghiệm của \(2x - y - 4 < 0\): Miền nghiệm là phía dưới của đường thẳng \(y = 2x - 4\). 3. Miền nghiệm của \(y + 2 > 0\): Miền nghiệm là phía trên của đường thẳng \(y = -2\). Bước 3: Xác định miền nghiệm chung Miền nghiệm chung là phần giao của ba miền nghiệm trên. Để xác định miền này, ta tìm giao điểm của các đường thẳng: 1. Giao điểm của \(y = x - 2\) và \(y = 2x - 4\): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x - 2 \\ y = 2x - 4 \end{cases} \] Ta có: \[ x - 2 = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Thay \(x = 2\) vào \(y = x - 2\), ta được \(y = 0\). Vậy giao điểm là \((2, 0)\). 2. Giao điểm của \(y = x - 2\) và \(y = -2\): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x - 2 \\ y = -2 \end{cases} \] Ta có: \[ x - 2 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Vậy giao điểm là \((0, -2)\). 3. Giao điểm của \(y = 2x - 4\) và \(y = -2\): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -2 \end{cases} \] Ta có: \[ 2x - 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Vậy giao điểm là \((1, -2)\). Bước 4: Tính diện tích miền nghiệm Miền nghiệm là tam giác có các đỉnh \((0, -2)\), \((1, -2)\), và \((2, 0)\). Tính diện tích tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \left| 0(-2 - 0) + 1(0 + 2) + 2(-2 + 2) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 2 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Vậy diện tích miền nghiệm là \(1\) đơn vị diện tích.