Giải hộ mình câu này với các bạn 1,Xét tính Đ/S cuả các mệnh đề.,Sau đó p. biểu Mệnh đề phủ định,$A(n):~^{\prime\prime}\forall n\in\mathbb{N}:~n^2+1~k^0$ chia hết cho 3 ",$B(x):~``\forall n\in\mathbb{N}:~n^3+3n^2-4n~k^0dia~hết~do~6^0$,$C(x,y):~``\exists x,y\in\mathbb{R}:~2x^2+4xy+5y^20$,$E(x;y):~``\forall x,y\in\mathbb{R}:~(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4$,là số chính phương".

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn 1,Xét tính Đ/S cuả các mệnh đề.,Sau đó p. biểu Mệnh đề phủ định,$A(n):~^{\prime\prime}\forall n\in\mathbb{N}:~n^2+1~k^0$ chia hết cho 3 &quot;,$B(x):~``\forall n\in\mathbb{N}:~n^3+3n^2-4n~k^0dia~hết~do~6^0$,$C(x,y):~``\exists x,y\in\mathbb{R}:~2x^2+4xy+5y^2<0^{\prime\prime}$,$D(x;y):~``\forall x,y\in\mathbb{R}:~x(x+2)+y(y-4)+10>0$,$E(x;y):~``\forall x,y\in\mathbb{R}:~(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4$,là số chính phương&quot;.

Accepted Answer

Mệnh đề A(n): "∀n ∈ ℕ: n² + 1 không chia hết cho 3"

- Phủ định: ∃n ∈ ℕ: n² + 1 chia hết cho 3
- Lập luận: 
  - Ta sẽ kiểm tra các trường hợp n = 0, 1, 2:
    - Nếu n = 0: n² + 1 = 0² + 1 = 1, không chia hết cho 3.
    - Nếu n = 1: n² + 1 = 1² + 1 = 2, không chia hết cho 3.
    - Nếu n = 2: n² + 1 = 2² + 1 = 5, không chia hết cho 3.
  - Vì n² + 1 không chia hết cho 3 trong mọi trường hợp, nên mệnh đề A(n) đúng.

Mệnh đề B(x): "∀n ∈ ℕ: n³ + 3n² - 4n chia hết cho 6"

- Phủ định: ∃n ∈ ℕ: n³ + 3n² - 4n không chia hết cho 6
- Lập luận: 
  - Ta sẽ kiểm tra các trường hợp n = 0, 1, 2, 3:
    - Nếu n = 0: n³ + 3n² - 4n = 0³ + 3·0² - 4·0 = 0, chia hết cho 6.
    - Nếu n = 1: n³ + 3n² - 4n = 1³ + 3·1² - 4·1 = 1 + 3 - 4 = 0, chia hết cho 6.
    - Nếu n = 2: n³ + 3n² - 4n = 2³ + 3·2² - 4·2 = 8 + 12 - 8 = 12, chia hết cho 6.
    - Nếu n = 3: n³ + 3n² - 4n = 3³ + 3·3² - 4·3 = 27 + 27 - 12 = 42, chia hết cho 6.
  - Vì n³ + 3n² - 4n chia hết cho 6 trong mọi trường hợp, nên mệnh đề B(n) đúng.

Mệnh đề C(x,y): "∃x,y ∈ ℝ: 2x² + 4xy + 5y² < 0"

- Phủ định: ∀x,y ∈ ℝ: 2x² + 4xy + 5y² ≥ 0
- Lập luận: 
  - Ta sẽ viết lại biểu thức dưới dạng tổng bình phương:
    - 2x² + 4xy + 5y² = 2(x² + 2xy) + 5y² = 2(x² + 2xy + y²) + 3y² = 2(x + y)² + 3y²
  - Vì (x + y)² ≥ 0 và y² ≥ 0, nên 2(x + y)² + 3y² ≥ 0.
  - Do đó, 2x² + 4xy + 5y² ≥ 0 với mọi x, y ∈ ℝ.
  - Vậy mệnh đề C(x,y) sai.

Mệnh đề D(x,y): "∀x,y ∈ ℝ: x(x + 2) + y(y - 4) + 10 > 0"

- Phủ định: ∃x,y ∈ ℝ: x(x + 2) + y(y - 4) + 10 ≤ 0
- Lập luận: 
  - Ta sẽ viết lại biểu thức dưới dạng tổng bình phương:
    - x(x + 2) + y(y - 4) + 10 = x² + 2x + y² - 4y + 10
    - = (x² + 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + 5
    - = (x + 1)² + (y - 2)² + 5
  - Vì (x + 1)² ≥ 0 và (y - 2)² ≥ 0, nên (x + 1)² + (y - 2)² + 5 ≥ 5 > 0.
  - Do đó, x(x + 2) + y(y - 4) + 10 > 0 với mọi x, y ∈ ℝ.
  - Vậy mệnh đề D(x,y) đúng.

Mệnh đề E(x,y): "∀x,y ∈ ℝ: (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương"

- Phủ định: ∃x,y ∈ ℝ: (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ không phải là số chính phương
- Lập luận: 
  - Ta sẽ viết lại biểu thức dưới dạng tổng bình phương:
    - (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴
    - = [(x + y)(x + 4y)][(x + 2y)(x + 3y)] + y⁴
    - = (x² + 5xy + 4y²)(x² + 5xy + 6y²) + y⁴
    - = (x² + 5xy + 5y² - y²)(x² + 5xy + 5y² + y²) + y⁴
    - = (x² + 5xy + 5y²)² - y⁴ + y⁴
    - = (x² + 5xy + 5y²)²
  - Vì (x² + 5xy + 5y²)² là một số chính phương, nên (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.
  - Vậy mệnh đề E(x,y) đúng.