Giúp mình với Giá trị nhỏ nhất $F_{\min}$ của biểu thức $F(x;y)=6x+5y$ với x, y thỏa mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}0\leq x\leq10\0\leq y\leq9\2x+y\geq14\2x+5y\geq30\end{array} ight.$ là:

Question

Giúp mình với Giá trị nhỏ nhất $F_{\min}$ của biểu thức $F(x;y)=6x+5y$ với x, y thỏa mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}0\leq x\leq10\0\leq y\leq9\2x+y\geq14\2x+5y\geq30\end{array}ight.$ là:

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ F(x, y) = 6x + 5y $ với các điều kiện cho trước, ta cần xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình và tìm giá trị của $ F(x, y) $ tại các đỉnh của miền nghiệm này.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Hệ bất phương trình cho bởi:
$$
\begin{cases}
0 \leq x \leq 10 \
0 \leq y \leq 9 \
2x + y \geq 14 \
2x + 5y \geq 30
\end{cases}
$$

- Bất phương trình $ 2x + y \geq 14 $ có đường biên là $ y = 14 - 2x $.
- Bất phương trình $ 2x + 5y \geq 30 $ có đường biên là $ y = \frac{30 - 2x}{5} $.

Bước 2: Tìm giao điểm của các đường biên

1. Giao điểm của $ y = 14 - 2x $ và $ y = \frac{30 - 2x}{5} $:

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   y = 14 - 2x \
   y = \frac{30 - 2x}{5}
   \end{cases}
   $$

Đặt $ 14 - 2x = \frac{30 - 2x}{5} $.

Nhân cả hai vế với 5:
   $$
   5(14 - 2x) = 30 - 2x
   $$
   $$
   70 - 10x = 30 - 2x
   $$
   $$
   40 = 8x \Rightarrow x = 5
   $$

Thay $ x = 5 $ vào $ y = 14 - 2x $:
   $$
   y = 14 - 2 \times 5 = 4
   $$

Vậy giao điểm là $ (5, 4) $.

2. Giao điểm của $ y = 14 - 2x $ và $ y = 9 $:

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   y = 14 - 2x \
   y = 9
   \end{cases}
   $$

Thay $ y = 9 $ vào phương trình thứ nhất:
   $$
   9 = 14 - 2x \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5
   $$

Vậy giao điểm là $ (2.5, 9) $.

3. Giao điểm của $ y = \frac{30 - 2x}{5} $ và $ y = 9 $:

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   y = \frac{30 - 2x}{5} \
   y = 9
   \end{cases}
   $$

Thay $ y = 9 $ vào phương trình thứ nhất:
   $$
   9 = \frac{30 - 2x}{5} \Rightarrow 45 = 30 - 2x \Rightarrow 2x = -15 \Rightarrow x = -7.5
   $$

Giá trị này không thỏa mãn điều kiện $ 0 \leq x \leq 10 $, nên không có giao điểm hợp lệ.

Bước 3: Xác định các đỉnh của miền nghiệm

Các đỉnh của miền nghiệm là các điểm giao nhau của các đường biên và các đường giới hạn:
- $ (5, 4) $
- $ (2.5, 9) $
- $ (10, 0) $ (từ $ 2x + y = 14 $ với $ x = 10 $)
- $ (10, 2) $ (từ $ 2x + 5y = 30 $ với $ x = 10 $)

Bước 4: Tính giá trị của $ F(x, y) $ tại các đỉnh

- Tại $ (5, 4) $: $ F(5, 4) = 6 \times 5 + 5 \times 4 = 30 + 20 = 50 $
- Tại $ (2.5, 9) $: $ F(2.5, 9) = 6 \times 2.5 + 5 \times 9 = 15 + 45 = 60 $
- Tại $ (10, 0) $: $ F(10, 0) = 6 \times 10 + 5 \times 0 = 60 $
- Tại $ (10, 2) $: $ F(10, 2) = 6 \times 10 + 5 \times 2 = 60 + 10 = 70 $

Bước 5: Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của $ F(x, y) $ là 50, đạt được tại điểm $ (5, 4) $.