Giải bài tập sau

Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = 3x + y \) với \((x; y)\) là nghiệm của hệ bất phương trình, trước tiên chúng ta cần xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} y - 2x \leq 2 \\ 2y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \end{cases} \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình 1. Bất phương trình 1: \( y - 2x \leq 2 \) Phương trình đường thẳng: \( y = 2x + 2 \) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng \( y = 2x + 2 \). 2. Bất phương trình 2: \( 2y - x \geq 4 \) Phương trình đường thẳng: \( y = \frac{1}{2}x + 2 \) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng trên đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x + 2 \). 3. Bất phương trình 3: \( x + y \leq 5 \) Phương trình đường thẳng: \( y = -x + 5 \) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng \( y = -x + 5 \). Bước 2: Tìm giao điểm của các đường thẳng 1. Giao điểm của \( y = 2x + 2 \) và \( y = \frac{1}{2}x + 2 \): \[ 2x + 2 = \frac{1}{2}x + 2 \implies 2x = \frac{1}{2}x \implies \frac{3}{2}x = 0 \implies x = 0 \] Thay \( x = 0 \) vào \( y = 2x + 2 \), ta được \( y = 2 \). Giao điểm là \( A(0, 2) \). 2. Giao điểm của \( y = 2x + 2 \) và \( y = -x + 5 \): \[ 2x + 2 = -x + 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = 2x + 2 \), ta được \( y = 4 \). Giao điểm là \( B(1, 4) \). 3. Giao điểm của \( y = \frac{1}{2}x + 2 \) và \( y = -x + 5 \): \[ \frac{1}{2}x + 2 = -x + 5 \implies \frac{3}{2}x = 3 \implies x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào \( y = \frac{1}{2}x + 2 \), ta được \( y = 3 \). Giao điểm là \( C(2, 3) \). Bước 3: Xác định miền tam giác ABC Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác \( ABC \) với các đỉnh \( A(0, 2) \), \( B(1, 4) \), \( C(2, 3) \). Bước 4: Tính giá trị lớn nhất của \( F = 3x + y \) Tính \( F \) tại các đỉnh của tam giác: - Tại \( A(0, 2) \): \( F = 3 \times 0 + 2 = 2 \) - Tại \( B(1, 4) \): \( F = 3 \times 1 + 4 = 7 \) - Tại \( C(2, 3) \): \( F = 3 \times 2 + 3 = 9 \) Giá trị lớn nhất của \( F \) là 9, đạt được khi \( (x, y) = (2, 3) \). Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = 3x + y \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \) và \( y = 3 \).