giúp với ạ

Câu 17: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x}{x-1} \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức. 1. Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: Nếu \( y = \frac{u}{v} \), thì \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). 2. Xác định \( u \) và \( v \): - \( u = 2x \) - \( v = x - 1 \) 3. Tính đạo hàm của \( f(x) \) tại \( x = 0 \): - Đạo hàm \( u' = 2 \) - Đạo hàm \( v' = 1 \) 4. Thay vào công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x - 1) - 2x \cdot 1}{(x - 1)^2} \] 5. Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2x - 2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x}{x-1} \) là: \[ y' = \frac{-2}{(x - 1)^2} \] Đáp án đúng là: \[ C.~y^\prime=\frac{-2}{(x-1)^2} \] Câu 18: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{x^2 + 5} \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức. Bước 1: Xác định hàm số và áp dụng công thức đạo hàm của phân thức. \[ y = \frac{1}{x^2 + 5} \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó, \( u = 1 \) và \( v = x^2 + 5 \). Bước 3: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 0 \] \[ v' = 2x \] Bước 4: Thay vào công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 5) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} \] \[ y' = \frac{-2x}{(x^2 + 5)^2} \] Vậy, đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{x^2 + 5} \) là: \[ y' = \frac{-2x}{(x^2 + 5)^2} \] Đáp án đúng là: \[ D.~y' = \frac{-2x}{(x^2 + 5)^2} \] Câu 19: Để giải bất phương trình \( y' < 0 \) cho hàm số \( y = x^3 - 3x + 2017 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2017) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải bất phương trình \( y' < 0 \): \[ 3x^2 - 3 < 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 1 < 0 \] Đây là một bất phương trình bậc hai. Ta có thể viết lại nó dưới dạng: \[ (x - 1)(x + 1) < 0 \] 3. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: - Các nghiệm của phương trình \( (x - 1)(x + 1) = 0 \) là \( x = 1 \) và \( x = -1 \). - Ta xét dấu của biểu thức \( (x - 1)(x + 1) \) trên các khoảng \((-\infty, -1)\), \((-1, 1)\), và \((1, +\infty)\). - Trên khoảng \((-\infty, -1)\), biểu thức \( (x - 1)(x + 1) \) dương. - Trên khoảng \((-1, 1)\), biểu thức \( (x - 1)(x + 1) \) âm. - Trên khoảng \((1, +\infty)\), biểu thức \( (x - 1)(x + 1) \) dương. 4. Kết luận: Bất phương trình \( (x - 1)(x + 1) < 0 \) có nghiệm trong khoảng \((-1, 1)\). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \( y' < 0 \) là: \[ S = (-1, 1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S=(-1;1) \] Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + 2x^2 - 3 \). 2. Giải bất phương trình \( f'(x) > 0 \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^2 - 3) = 4x^3 + 4x. \] Bước 2: Giải bất phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \begin{cases} x^2 + 1 = 0 \\ 2x + m = 0 \end{cases} \] Từ \( x^2 + 1 = 0 \), ta thấy phương trình này vô nghiệm vì \( x^2 + 1 \geq 1 \) luôn đúng. Do đó, phương trình \( f'(x) = 0 \) chỉ có nghiệm khi \( 2x + m = 0 \), tức là: \[ x = -\frac{m}{2}. \] Để phương trình \( f'(x) = 0 \) có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra tính đơn điệu của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) \) sẽ có cực trị nếu đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu qua nghiệm của nó. Xét dấu của \( f'(x) \): \[ f'(x) = (x^2 + 1)(2x + m). \] - \( x^2 + 1 > 0 \) luôn đúng. - \( 2x + m = 0 \) có nghiệm duy nhất \( x = -\frac{m}{2} \). Do đó, \( f'(x) \) sẽ đổi dấu tại \( x = -\frac{m}{2} \) nếu \( 2x + m \) đổi dấu qua \( x = -\frac{m}{2} \). Vì \( 2x + m \) là hàm bậc nhất, nó sẽ đổi dấu qua nghiệm của nó. Do đó, \( f'(x) = 0 \) có nghiệm duy nhất khi \( m \) bất kỳ. Tuy nhiên, để hàm số \( f(x) \) có cực trị, \( f'(x) \) phải đổi dấu qua nghiệm của nó. Điều này xảy ra khi \( m \neq 0 \). Vậy, giá trị của \( m \) để phương trình \( f'(x) = 0 \) có nghiệm duy nhất là: \[ m \neq 0. \] Đáp án: \( m \neq 0 \). Câu 21: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sin^2 u \) tại \( x \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chuỗi (chain rule). 1. Đặt \( v = \sin u \). Khi đó, \( y = v^2 \). 2. Áp dụng quy tắc chuỗi để tìm đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(v^2) = 2v \cdot \frac{dv}{dx} \] 3. Tìm \( \frac{dv}{dx} \) of the function \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) at \( x = 0 \). To find the derivative of \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) at \( x = 0 \), we will use the chain rule. 1. Let \( u = x^2 + 1 \). Then \( f(x) = \sqrt{u} \). 2. The derivative of \( f(x) \) with respect to \( x \) is: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \] 3. Since \( u = x^2 + 1 \), we have: \[ \frac{du}{dx} = 2x \] 4. Substituting \( \frac{du}{dx} \) into the expression for \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] 5. Evaluating \( f'(x) \) at \( x = 0 \): \[ f'(0) = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 1}} = \frac{0}{1} = 0 \] Therefore, the derivative of \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) at \( x = 0 \) is \(\boxed{0}\). Câu 22: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \sin 2x - \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản. 1. Đạo hàm của \( \sin u \) là \( u' \cos u \). 2. Đạo hàm của \( \cos u \) là \( -u' \sin u \). Áp dụng các công thức này vào hàm số \( y = \sin 2x - \cos x \): - Đạo hàm của \( \sin 2x \): \[ (\sin 2x)' = 2\cos(2x) \] Áp dụng công thức \( (\sin u)' = u' \cos u \): \[ (\sin 2x)' = (2x)' \cos 2x = 2 \cos 2x \] - Đạo hàm của \( -\cos x \): \[ (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x \] Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ y' = 2 \cos 2x + \sin x \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~y' = 2 \cos 2x + \sin x} \] Câu 23: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 4\sin2x + 7\cos3x + 9 \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm cơ bản. 1. Đạo hàm của \( 4\sin2x \): - Đạo hàm của \( \sin u \) là \( \cos u \cdot u' \). - Ở đây, \( u = 2x \), nên \( u' = 2 \). - Do đó, đạo hàm của \( 4\sin2x \) là \( 4 \cdot \cos(2x) \). Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như \(\frac{a}{b}\), tuyệt đối không được sử dụng a/b. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~8\cos2x-21\sin3x. \] Câu 24: Để tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x + 3 \), chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc cơ bản của đạo hàm. 1. Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). 2. Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). 3. Đạo hàm của hằng số (ở đây là 3) là 0. Do đó, ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x + \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(3) \] Áp dụng các quy tắc trên: \[ f'(x) = \cos x + (-\sin x) + 0 \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \cos x - \sin x \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~f'(x) = \cos x - \sin x \] Câu 25: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \cos 2x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản: - Đạo hàm của \( \cos u \) là \( -u' \sin u \). - Đạo hàm của hằng số là 0. 2. Ta có: \[ y = \cos 2x + 1 \] 3. Đặt \( u = 2x \). Khi đó \( y = \cos u + 1 \). 4. Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ y' = (\cos u)' + (1)' \] \[ y' = -u' \sin u + 0 \] \[ y' = - (2x)' \sin 2x \] \[ y' = -2 \sin 2x \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \cos 2x + 1 \) là: \[ y' = -2 \sin 2x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y' = -2 \sin 2x \] Câu 26: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \cos(2x + 1) \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chuỗi (chain rule). 1. Đặt \( u = 2x + 1 \). Khi đó, \( y = \cos(u) \). 2. Tìm đạo hàm của \( u \) theo \( x \): \[ \frac{du}{dx} = 2 \] 3. Tìm đạo hàm của \( y \) theo \( u \): \[ \frac{dy}{du} = -\sin(u) \quad \text{(với } u = 2x + 1 \text{)} \] \[ \frac{dy}{du} = -\sin(2x + 1) \] 4. Áp dụng quy tắc chuỗi để tìm đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \] \[ \frac{dy}{dx} = -\sin(2x + 1) \cdot 2 \] \[ \frac{dy}{dx} = -2\sin(2x + 1) \] Vậy, đạo hàm của hàm số \( y = \cos(2x + 1) \) là: \[ y' = -2\sin(2x + 1) \] Đáp án đúng là: \( B.~y' = -2\sin(2x + 1) \) Câu 27: Ta có: \[ f(x) = \sin^2 x \] Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có: \[ f'(x) = 2 \sin x \cdot (\sin x)' \] Biết rằng đạo hàm của \(\sin x\) là \(\cos x\), nên: \[ f'(x) = 2 \sin x \cdot \cos x \] Áp dụng công thức lượng giác \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\), ta có: \[ f'(x) = \sin(2x) \] Do đó, đáp án đúng là D. Câu 28: Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác: \( (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \). Lời giải chi tiết: Ta có \( y = \tan x \). Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác, ta có: \[ y' = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}. \] Câu 29: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = x \sin x \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nhân (product rule). Quy tắc này phát biểu rằng nếu \( u(x) \) và \( v(x) \) là hai hàm số có đạo hàm, thì đạo hàm của tích \( uv \) là: \[ (uv)' = u'v + uv'. \] Trong trường hợp này, chúng ta có: \[ u(x) = x \quad \text{và} \quad v(x) = \sin x. \] Đầu tiên, chúng ta cần tìm điều kiện xác định của các biến số trước khi tính đạo hàm. - Điều kiện xác định của \( x \) là \( x \in \mathbb{R} \). - Điều kiện xác định của \( \sin x \) cũng là \( x \in \mathbb{R} \). Do đó, hàm số \( y = x \sin x \) xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Tiếp theo, chúng ta tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1, \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x. \] Áp dụng quy tắc nhân, chúng ta có: \[ y' = (x \sin x)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x. \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = x \sin x \) là: \[ y' = \sin x + x \cos x. \] Đáp án đúng là: \[ C.~y = \sin x + x \cos x. \] Câu 30: Hàm số \( y = 8^x \) là một hàm số mũ cơ bản với cơ số dương khác 1. Hàm số này xác định với mọi giá trị thực của \( x \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = 8^x \) là toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\mathbb{R}. \] Câu 31: Hàm số \( y = 6^x \) là một hàm số mũ cơ bản với cơ số dương khác 1. Hàm số này xác định với mọi giá trị thực của \( x \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = 6^x \) là \( \mathbb{R} \). Đáp án đúng là: \[ D.~\mathbb{R}. \] Câu 32: Hàm số \( y = 7^x \) là hàm số mũ cơ số dương khác 1, do đó nó xác định với mọi giá trị thực của \( x \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = 7^x \) là \( \mathbb{R} \). Đáp án đúng là: \( D.~\mathbb{R}. \) Câu 33: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \log x \), ta sử dụng công thức đạo hàm của logarit cơ số 10. Công thức đạo hàm của \( \log_a x \) là: \[ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \] Trong trường hợp này, cơ số \( a = 10 \), do đó: \[ (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \log x x \) = \frac{1}{(x+1)^2} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y' = \frac{1}{x \ln 10} \] Câu 34: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 2^{x^2 - x} \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chuỗi và đạo hàm của hàm mũ. 1. Đặt \( u = x^2 - x \). Khi đó, \( y = 2^u \). 2. Tìm đạo hàm của \( u \) theo \( x \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - x) = 2x - 1 \] 3. Tìm đạo hàm của \( y \) theo \( t \) = \(\) theo \( u \): \[ \frac{dy}{du} = 2^u \cdot \ln 2 \] 4. Áp dụng quy tắc chuỗi để tìm đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ \frac{dy}{dx} = (2^u \cdot \ln 2) \cdot (2x - 1) \] 5. Thay \( u = x^2 - x \) vào biểu thức trên: \[ \frac{dy}{dx} = (2^{x^2 - x} \cdot \ln 2) \cdot (2x - 1) \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = 2^{x^2 - x} \) là: \[ \boxed{(2x - 1) \cdot 2^{x^2 - x} \cdot \ln 2} \] Đáp án đúng là: \( B.~(2x-1) \cdot 2^{x^2-x} \cdot \ln 2 \).