Câu $\rm 5.$

Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính cạnh của hình vuông \( C_2 \). Hình vuông \( C_1 \) có cạnh bằng \( a \). Khi chia mỗi cạnh của hình vuông \( C_1 \) thành bốn phần bằng nhau, mỗi đoạn sẽ có độ dài là \( \frac{a}{4} \). Khi nối các điểm chia thích hợp, ta sẽ tạo ra hình vuông \( C_2 \). Cạnh của hình vuông \( C_2 \) sẽ là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm chia liền kề trên hai cạnh kề nhau của hình vuông \( C_1 \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng \( \frac{a}{4} \), ta có: \[ c_2 = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \sqrt{2 \times \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{4} \] Vậy cạnh của hình vuông \( C_2 \) là \( \frac{a\sqrt{2}}{4} \). b) Tính \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2025}{a^2}(S_1+S_2+...+S_n)\). Diện tích của hình vuông \( C_i \) là \( S_i = c_i^2 \), trong đó \( c_i \) là cạnh của hình vuông \( C_i \). - Với \( C_1 \), ta có \( S_1 = a^2 \). - Với \( C_2 \), ta có \( S_2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{a^2 \times 2}{16} = \frac{a^2}{8} \). Tiếp tục quá trình này, ta thấy rằng mỗi hình vuông \( C_{i+1} \) có cạnh bằng \( \frac{\sqrt{2}}{4} \) lần cạnh của hình vuông \( C_i \). Do đó, diện tích của hình vuông \( C_{i+1} \) là: \[ S_{i+1} = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 S_i = \frac{1}{8} S_i \] Vì vậy, dãy diện tích \( S_1, S_2, S_3, \ldots \) là một cấp số nhân với số hạng đầu \( S_1 = a^2 \) và công bội \( q = \frac{1}{8} \). Tổng của dãy cấp số nhân vô hạn này là: \[ S_1 + S_2 + S_3 + \ldots = \frac{S_1}{1 - q} = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{a^2}{\frac{7}{8}} = \frac{8a^2}{7} \] Do đó, ta có: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2025}{a^2}(S_1+S_2+...+S_n) = \frac{2025}{a^2} \times \frac{8a^2}{7} = \frac{2025 \times 8}{7} = \frac{16200}{7} \] Vậy kết quả là \(\frac{16200}{7}\).