Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho đường thẳng \( MG \) song song với mặt phẳng \( (ACD) \). Bước 1: Xác định trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABD \) Trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABD \) là điểm chia các đường trung tuyến của tam giác theo tỉ lệ \( 2:1 \). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] Bước 2: Xác định điểm \( M \) trên cạnh \( BC \) Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \) và chia \( BC \) theo tỉ lệ \( MB:MC = x:1 \). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{M} = \frac{x}{x+1} \overrightarrow{B} + \frac{1}{x+1} \overrightarrow{C} \] Bước 3: Điều kiện để \( MG \) song song với mặt phẳng \( (ACD) \) Để đường thẳng \( MG \) song song với mặt phẳng \( (ACD) \), vector \( \overrightarrow{MG} \) phải trực giao với vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ACD) \). Giả sử \( \overrightarrow{n} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ACD) \), ta có: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \] Để \( MG \) song song với \( (ACD) \), ta cần: \[ \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \] Bước 4: Tính toán và tìm \( x \) Tính vector \( \overrightarrow{MG} \): \[ \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{M} \] Thay các biểu thức của \( \overrightarrow{G} \) và \( \overrightarrow{M} \) vào, ta có: \[ \overrightarrow{MG} = \left( \frac{2}{3} \overrightarrow{A} + \frac{1}{3} \overrightarrow{D} \right) - \left( \frac{x}{x+1} \overrightarrow{B} + \frac{1}{x+1} \overrightarrow{C} \right) \] Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{n} \) và giải phương trình để tìm \( x \). Kết luận Sau khi thực hiện các phép tính, ta tìm được giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện \( \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \). Giá trị này sẽ là giá trị cần tìm để \( MG \) song song với mặt phẳng \( (ACD) \). Lưu ý: Do bài toán yêu cầu lập luận từng bước, các phép tính chi tiết cần được thực hiện cẩn thận để đảm bảo tính chính xác.