Cho 8045 điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ 3 điểm bất kì thì tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn1. CMR: Luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của một tam giác có d...

Để chứng minh rằng luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1, ta có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý "hộp bồ câu"). Giả sử rằng không có ít nhất 2012 điểm nào nằm trong một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. Điều này có nghĩa là mỗi tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 chỉ chứa ít hơn 2012 điểm. Bây giờ, hãy xem xét tất cả các tam giác có thể được tạo thành từ 8045 điểm đã cho. Theo giả thiết, mỗi bộ ba điểm bất kỳ đều tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. Số lượng tam giác có thể tạo thành từ 8045 điểm là: \[ \binom{8045}{3} = \frac{8045 \times 8044 \times 8043}{6} \] Giả sử mỗi tam giác chứa ít hơn 2012 điểm, thì tổng số điểm tối đa có thể được chứa trong tất cả các tam giác là: \[ \left(\frac{8045 \times 8044 \times 8043}{6}\right) \times 2011 \] Tuy nhiên, điều này là không thể vì số lượng điểm thực tế chỉ là 8045. Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất một tam giác chứa ít nhất 2012 điểm. Vậy, luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.